Trong số học dấu phẩy động, tại sao sự thiếu chính xác số lại dẫn đến việc thêm một số hạng nhỏ vào một sự khác biệt của các số hạng lớn?

Tôi đã đọc cuốn sách Mô phỏng máy tính về chất lỏng của Allen và Tildesley. Bắt đầu từ trang 71, các tác giả thảo luận về các thuật toán khác nhau được sử dụng để tích hợp các phương trình chuyển động của Newton trong mô phỏng động lực học phân tử (MD). Bắt đầu từ trang 78, các tác giả thảo luận về thuật toán Verlet, có lẽ là thuật toán tích hợp chính tắc trong MD. Họ tuyên bố:

Có lẽ phương pháp được sử dụng rộng rãi nhất để tích hợp các phương trình chuyển động là ban đầu được Verlet (1967) áp dụng và được quy cho Stormer (Gear 1971). Phương pháp này là một giải pháp trực tiếp của phương trình bậc hai . Phương pháp này dựa trên các tư thế r ( t ) , gia tốc a ( t ) và các vị trí r ( t - δ t ) từ bước trước. Phương trình để tiến các vị trí đọc như sau:$m_i \ddot{\textbf{r}}_i = \textbf{f}_i$$\textbf{r}(t)$$\textbf{a}(t)$$\textbf{r}(t - \delta t)$

$$\tag{3.14}\textbf{r}(t + \delta t) = 2\textbf{r}(t) - \textbf{r}(t - \delta t) + \delta t^2 \textbf{a}(t).$$

Có một số điểm cần lưu ý về eqn (3.14). Nó sẽ được thấy rằng vận tốc hoàn toàn không xuất hiện. Chúng đã được loại bỏ bằng cách thêm các phương trình thu được từ việc mở rộng Taylor về :$\textbf{r}(t)$

$$\textbf{r}(t + \delta t) = \textbf{r}(t) + \delta t \textbf{v}(t) + (1/2) \delta t^2 \textbf{a}(t) + ...$$

$$\tag{3.15}\textbf{r}(t - \delta t) = \textbf{r}(t) - \delta t \textbf{v}(t) + (1/2) \delta t^2 \textbf{a}(t) - ... .$$

Sau đó, sau đó (trên trang 80), các tác giả nêu rõ:

Đối với thuật toán Verlet, ... hình thức của thuật toán có thể không cần thiết phải đưa ra một số sai số. Điều này phát sinh bởi vì, trong eqn (3.14), một thuật ngữ nhỏ ( ) được thêm vào một sự khác biệt của các điều khoản lớn ( O ( δ t 0 ) ), để tạo ra quỹ đạo. $\mathcal{O}(\delta t^2)$$\mathcal{O}(\delta t^0)$

Tôi đoán rằng "nhỏ thuật ngữ" là , và "sự khác biệt từ ngữ lớn" là 2 r ( t ) - r ( t - δ t ) .$\delta t^2 \textbf{a}(t)$$2\textbf{r}(t) - \textbf{r}(t - \delta t)$

Câu hỏi của tôi là, tại sao sự thiếu chính xác số lại dẫn đến việc thêm một thuật ngữ nhỏ vào sự khác biệt của các điều khoản lớn?

Tôi quan tâm đến một lý do khái niệm khá cơ bản, vì tôi hoàn toàn không quen thuộc với các chi tiết về số học dấu phẩy động. Ngoài ra, bạn có biết bất kỳ tài liệu tham khảo "loại tổng quan" nào (sách, bài viết hoặc trang web) sẽ giới thiệu cho tôi các ý tưởng cơ bản về số học dấu phẩy động liên quan đến câu hỏi này không? Cảm ơn vì đã dành thời gian cho tôi.

Quan sát của họ '' hình thức của thuật toán có thể không cần thiết phải đưa ra một số sai số '' là chính xác. Nhưng lời giải thích của họ '' Điều này phát sinh bởi vì, trong eqn (3.14), một thuật ngữ nhỏ ( ) được thêm vào một sự khác biệt của các điều khoản lớn ( O ( δ t 0 ) ), để tạo ra quỹ đạo. '' là giả mạo.$O(δt^2)$$O(δt^0)$

Lý do thực sự cho sự không ổn định về số lượng của thuật toán Verlet là vì nó chỉ ổn định một chút, bởi vì phương trình sai khác (về cơ bản là trường hợp bạn bỏ qua a trong Verlet) có ký sinh giải pháp tỷ lệ với k , gây ra các lỗi được giới thiệu để tăng tuyến tính trong k trong khi đối với phương pháp đa pha hoàn toàn ổn định được áp dụng cho phương trình vi phân tiêu tan, tăng trưởng lỗi bị giới hạn.$x_{k+1}=2x_k-x_{k-1}$$a$$k$$k$

Chỉnh sửa: Lưu ý rằng cuốn sách là về mô phỏng số động lực học phân tử, và để có được một độ chính xác hợp lý của sự mong đợi kết quả người ta cần một số lượng lớn bước, như quy mô chính xác với O ( N - 1 / 2 ) mà thôi. (Thông thường các bước thời gian là trong pico giây theo quy mô dao động nội tại. Nhưng quy mô thời gian có liên quan sinh học đang trong mili giây hoặc lớn hơn ( N ~ 10 9 ), mặc dù thường người ta không tính rằng đến nay.)$N$$O(N^{-1/2})$$N\sim 10^9$

Để biết thêm chi tiết, xem http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_multistep_method#Stability_and_convergence

Nếu bạn đang tìm kiếm một lời giới thiệu hay, tôi sẽ gợi ý những điều mà mọi nhà khoa học máy tính nên biết về số học dấu phẩy động của David Goldberg . Nó có thể là một chút quá chi tiết, nhưng nó có sẵn trực tuyến miễn phí.

Nếu bạn có một thư viện tốt, tôi sẽ đề xuất tính toán số của Michael Overton với Số học dấu phẩy động của IEEE , hoặc một vài chương đầu của Độ chính xác và tính ổn định của thuật toán số của Nick Higham .

Điều mà Allen và Tildesley đang đề cập cụ thể là Hủy bỏ số . Ngắn của nó là nếu bạn có, nói rằng, chỉ có ba chữ số và bạn trừ đi 100từ 101, bạn nhận được 1.00(trong ba chữ số). Con số có vẻ chính xác đến ba chữ số, nhưng thực tế, chỉ có chữ số đầu tiên là đúng và dấu .00là rác. Tại sao? Chà, 100và 101chỉ là những đại diện không chính xác của, nói 100.12345và 101.4321, nhưng bạn chỉ có thể lưu trữ chúng dưới dạng số có ba chữ số.

Để áp dụng ví dụ của Pedro cho phương trình , giả sử các biến của bạn được lưu trữ với các giá trị sau:$(3.14)$

r ( t - δ t ) = 100 δ t 2 một ( t ) =

Từ cần tuân theo điều đó$(3.14)$

nhưng, vì chúng ta chỉ có thể sử dụng ba chữ số, kết quả sẽ bị cắt cụt thành

$\mathbf{a}(t)$$\mathbf{r}(t + 20\delta t) = 331$$433.90$

Pedro đã đưa ra một thực tế quan trọng, cụ thể là hủy bỏ. Vấn đề là mọi số bạn tính toán đều có độ chính xác liên quan; ví dụ, một số dấu phẩy động chính xác duy nhất chỉ có thể biểu thị những thứ có độ chính xác tối đa khoảng 8 chữ số. Nếu bạn có hai số gần giống nhau nhưng khác nhau ở chữ số thứ 7, thì sự khác biệt sẽ lại là số dấu phẩy động chính xác 8 chữ số và có vẻ như nó chính xác đến 8 chữ số, nhưng thực tế chỉ là số đầu tiên 1 hoặc 2 chữ số là chính xác vì số lượng bạn đã tính từ đó không chính xác ngoài 1 hoặc 2 chữ số đầu tiên của chênh lệch.

Bây giờ, cuốn sách bạn trích dẫn là từ năm 1989. Trước đó, việc tính toán thường được thực hiện ở độ chính xác duy nhất và hoàn thành và hủy bỏ là những vấn đề nghiêm trọng. Ngày nay, hầu hết các tính toán được thực hiện bằng cách sử dụng độ chính xác kép với độ chính xác 16 chữ số và ngày nay vấn đề này ít hơn nhiều so với trước đây. Tôi nghĩ rằng đáng để đọc những đoạn bạn trích dẫn bằng một hạt muối và đưa chúng vào bối cảnh thời gian của họ.