Sơ đồ sai phân hữu hạn cho phương trình sóng của tinh tế, phương pháp đặc tính

Hãy xem xét vấn đề sau

W_{u v} = F

$W_{uv} = F$ trong đó thuật ngữ cưỡng bức có thể phụ thuộc vào

u, v

$u,v$ (xem Chỉnh sửa 1 dưới đây cho công thức) và

W

$W$ và các dẫn xuất đầu tiên của nó. Đây là một phương trình sóng 1 + 1 chiều. Chúng tôi có dữ liệu ban đầu được quy định tại

{u + v = 0}

$\{u+v = 0\}$ .

Tôi quan tâm đến giải pháp bên trong miền phụ thuộc của một khoảng và đang xem xét sơ đồ sai phân hữu hạn sau.

{u + v = 0, u \in [- u_{M}, u_{M}]}

$\{ u+v = 0, u \in [- u_M,u_M]\}$

Mục tiêu là để phát triển bởi và tương tự . Sơ đồ này có thể tích hợp theo nghĩa $W_u$ $W_u(u,v+1) - W_u(u,v) = F(u,v)$ $W_v(u+1,v) - W_v(u,v) = F(u,v)$ $W (u, v) + W_{u} (u, v) + W_{v} (u + 1, v) = W (u + 1, v + 1) = W (u, v) + W_{v} (u, v) + W_{u} (u, v + 1)$ $W(u,v) + W_u(u,v) + W_v(u+1,v) = W(u+1,v+1) = W(u,v) + W_v(u,v) + W_u(u,v+1)$ vì vậy tôi luôn có thể tính từ dữ liệu ban đầu bằng cách tích hợp lên trên; do đó tôi chỉ thực sự cần xem xét các phương trình tiến hóa cho và . $W$ $W_v$ $W_u$
Đối với dữ liệu ban đầu, chúng ta cần điều kiện tương thích . Điều đó cho thấy rằng tôi có thể tính toán dữ liệu ban đầu bằng cách sử dụng sự khác biệt hữu hạn về phía trước (tính bằng ) của vào thời điểm ban đầu với các giá trị của $W_u(u,v) - W_v(u+1,v-1) = W(u+1,v-1) - W(u,v)$ $u$ $W$ $W_t$ tại các điểm nửa nguyên . $(u+0.5,v-0.5)$

Câu hỏi :

Đây có phải là một chương trình nổi tiếng? Cụ thể, tôi có thể tìm thấy phân tích của chương trình này ở đâu?
Bất cứ điều gì rõ ràng tôi nên tìm ra?

Bối cảnh : Giả vờ tôi không biết gì bên cạnh (điều này có lẽ đúng, vì tôi là một nhà toán học thuần túy đang cố gắng học một chút máy móc tính toán).

Chỉnh sửa 1 : Chỉ cần làm rõ (để giải quyết một số nhận xét): phương trình trong tọa độ sẽ là và và là ¨null tọa độ ¨ được đưa ra bởi (tối đa một số yếu tố tái chuẩn hóa của 2) và . Vì vậy, dữ liệu ban đầu tại trên thực tế là tại . $x$ $t$

W_{t t} - W_{x x} = F

$W_{tt} - W_{xx} = F$

u

$u$

v

$v$

u = t + x

$u = t+x$

v = t - x

$v = t-x$

{u + v = 0}

$\{u+v = 0\}$

{t = 0}

$\{t = 0\}$

Vì vậy, thay vì một lưới thích ứng với tôi xem xét một lưới thích ứng với được bảo vệ 45 độ¨. So với trong đó lấy các giá trị nguyên, người ta có thể nghĩ lưới có các điểm bổ sung trong đó cả hai (nhưng không chỉ một trong) và lấy các giá trị nửa nguyên. $(t,x)$ $(u,v)$ $(t,x)$ $t,x$ $u,v$ $t$ $x$

finite-difference reference-request hyperbolic-pde

— Willie Wong
nguồn

Tôi hơi bối rối bởi các mục đăng ký của bạn, nhưng điều này đối với tôi là một dạng công thức miền thời gian khác biệt hữu hạn . . . có lẽ với một công thức lưới so le (một nửa chỉ số?).

— meawoppl

@meawoppl: Anh ấy chỉ gọi các biến của mình là

thay vì

như thường làm. (Trong thông thường

xây dựng, họ cũng quay bởi

trong mặt phẳng không gian-thời gian so với

, nhưng đó là một vấn đề riêng biệt.)

u, v

$u,v$

x, t

$x,t$

u, v

$u,v$

45^{\circ}

$45^\circ$

x, t

$x,t$

— Wolfgang Bangerth

Tôi đã chỉnh sửa để làm rõ (lời giải thích của Wolfgang Bangerths là những gì tôi đã nghĩ).

— Willie Wong

Câu trả lời:

Chắc chắn có tài liệu về đề án như thế này. Hai từ khóa là

Phương pháp sửa đổi đặc điểm
Đề án bán Lagrangian

Sau 20 phút googling: một số giấy tờ có thể quan trọng là http://dx.doi.org/10.1137/0719063 và http://dx.doi.org/10.1137/0728024 (tìm kiếm chuyển tiếp từ đó). Chúng có lẽ không phải là tài liệu tham khảo tốt nhất ngoài kia, nhưng chúng nên là điểm khởi đầu để đưa bạn vào đúng tài liệu.

Tôi nghĩ về điều này như là một phương pháp xoay của các dòng với sự phân chia chiều. Có lẽ bạn nhận thức rất rõ về sự tương đương của phương trình của bạn và dạng thông thường của phương trình sóng dưới phép biến đổi Đối với tôi, thật hữu ích khi nghĩ về sơ đồ của bạn theo dạng phương trình truyền thống này. Những gì lược đồ thực hiện được tích hợp trước tiên dọc theo một tập hợp các đặc điểm, sau đó là các đặc điểm khác. Việc tích hợp được thực hiện bằng phương pháp chia chiều và phương pháp Euler.

W_{t t} - W_{x x} = F

$W_{tt}-W_{xx} = F$

u = t + x, v = t - x .

$u = t+x, \ \ \ \ v = t-x.$ , cả hai đều là thứ tự đầu tiên chính xác.

Tất nhiên, vì bạn đang tích hợp các đặc điểm, sơ đồ của bạn sẽ chính xác trong trường hợp . Đó là, các lỗi số trong sơ đồ của bạn sẽ chỉ do tích hợp số (điều này có thể rõ ràng, nhưng có lẽ hữu ích để chỉ ra cho những người đã quen với các phương pháp số truyền thống hơn). Hơn nữa, sơ đồ của bạn ổn định vô điều kiện trong trường hợp . Không có gì hơn có thể nói về sự ổn định của nó mà không biết một số tính chất của . Nói chung, lược đồ sẽ chỉ ổn định trong một số hạn chế kích thước bước hữu hạn (vì phương pháp của Euler là rõ ràng). Nếu Jacobian của $F=0$ $F$ $F=0$ $F$ $F$ có bất kỳ giá trị riêng hoàn toàn tưởng tượng, sơ đồ sẽ không ổn định.

Cách tiếp cận riêng biệt chung của việc giảm PDE thành hệ thống ODE (như trong phương thức của bạn) được gọi là phương pháp đường. Như với bất kỳ phương pháp phân biệt dòng nào, bạn có thể tăng thứ tự độ chính xác bằng cách sử dụng bộ giải ODE bậc cao hơn và bạn có thể cải thiện độ ổn định bằng cách sử dụng bộ giải ODE ẩn thích hợp (với chi phí tính toán tăng theo mỗi bước).

— David Ketcheson
nguồn

"nhưng Google sẽ giúp bạn nhiều hơn" Thực ra đó là một trong những vấn đề lớn. Tôi không chắc chắn chính xác Google sẽ làm gì (tôi nghi ngờ văn học số có thể sử dụng một số thuật ngữ khác với văn học thuần túy). Nếu bạn có thể đề xuất một số từ khóa mà tôi nên tìm kiếm, tôi sẽ rất biết ơn. ("Phương pháp đường truyền", chẳng hạn, đang chỉ cho tôi rất nhiều thông tin thực sự [có lẽ hơi nhiều để tôi có thể lọc qua :-)].)

— Willie Wong

@WillieWong - Một tài liệu tham khảo cho các phương trình hyperbol mà chúng ta thường trích dẫn là Phương pháp khối lượng hữu hạn của LeVeque cho các vấn đề Hyperbol . Tôi không chắc đây có phải là tài liệu tham khảo phù hợp để bạn bắt đầu hay không, nhưng ít nhất nó sẽ cung cấp cho bạn một giới thiệu về các điều khoản và kỹ thuật trong lĩnh vực này.

— Aron Ahmadia

Được rồi, tôi đã thêm một số từ khóa và tài liệu tham khảo. Tôi hy vọng họ giúp đỡ.

— David Ketcheson

Cảm ơn rất nhiều vì đã tham khảo! Điều đó đã cho tôi một khởi đầu tốt.

— Willie Wong

Bắt đầu từ nơi David Ketcheson để lại cho tôi câu trả lời của anh ấy, một chút tìm kiếm đã tiết lộ một số ghi chú lịch sử.

Kế hoạch tôi đã nêu ở trên đã được J. Massau xem xét từ năm 1900 , trong Mémoire sur l'intégration graphique des équations aux dérivées partielles . Tác phẩm được tái bản vào năm 1952 bởi G. Delporte, Mons.

Phân tích hiện đại đầu tiên (mặc dù ngắn gọn) về sự hội tụ của nó và như vậy được đưa ra bởi Courant, Friedrichs và Lewy trong bài báo kinh điển năm 1928 của họ về Toán học. Ann.

— Willie Wong
nguồn

Ồ, tôi không thể tin rằng tôi đã không nhận ra rằng đây là trong bài báo CFL ...

— David Ketcheson