Biến đổi Fourier cho điều kiện biên Neumann

Tôi cần phải giải hệ hai phương trình vi phân từng phần được ghép bằng số.

\begin{aligned} \frac{\partial x_{1}}{\partial t} & = c_{1} \nabla^{2} x_{1} + f_{1} (x_{1}, x_{2}) \\ \frac{\partial x_{2}}{\partial t} & = c_{2} \nabla^{2} x_{2} + K \frac{\partial x_{1}}{\partial t} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial x_1}{\partial t} &= c_1\nabla ^2 x_1 + f_1(x_1,x_2)\\ \frac{\partial x_2}{\partial t} &= c_2\nabla ^2 x_2 + K\frac{\partial x_1}{\partial t} \end{align}$

Miền của hệ thống là một vùng vuông.

Điều kiện biên:

\begin{aligned} x & = constant ⟹ \frac{\partial x_{1}}{\partial x} = \frac{\partial x_{2}}{\partial x} = 0 \\ y & = constant ⟹ \frac{\partial x_{1}}{\partial y} = \frac{\partial x_{2}}{\partial y} = 0 \end{aligned}

$\begin{align} x &= \text{constant} \implies \frac{\partial x_1}{\partial x} = \frac{\partial x_2}{\partial x} = 0\\ y &= \text{constant} \implies \frac{\partial x_1}{\partial y} = \frac{\partial x_2}{\partial y} = 0 \end{align}$

Tôi đã cố gắng giải quyết hệ thống này với biến đổi Fourier. Giải pháp trở nên không ổn định sau vài lần lặp. Tôi đã giải quyết hệ thống này sớm hơn với sơ đồ sai phân hữu hạn và nó hoạt động tốt để tôi biết rằng các hằng số của hệ thống là hoàn toàn tốt.

Câu hỏi của tôi là biến đổi Fourier có thể được sử dụng để giải các phương trình này không?
Tôi đọc ở đâu đó rằng vì điều kiện biên Neumann người ta không thể áp dụng biến đổi Fourier. Điều này có đúng không?
Nếu có, cái gì thay thế? (Tôi đã đọc rằng nên sử dụng biến đổi cosine nhưng muốn xác nhận).

pde fourier-analysis

— trò chuyện
nguồn

f_{1} (x_{1}, x_{2})

$f_1(x_1,x_2)$

f_{1}

$f_1$

f_{1} (x_{1}, x_{2}) = P (x_{1}) a r c t a n (x_{2})

$f_1(x_1,x_2) = P(x_1)arctan(x_2)$

f_{1}

$f_1$

P

$P$

@aberration, Cảm ơn bạn đã bình luận nhưng không hiểu ý nghĩa của nó. Có lẽ tôi nên nghiên cứu FFT kỹ hơn. Nhưng nếu tôi đang giải quyết hệ thống trong tất cả các thay đổi chỉ giới hạn ở phần trung tâm (đại khái) để các giá trị ở ranh giới không bị ảnh hưởng thì tôi có thể sử dụng FFT ở đây không?

— chatur

f_{1}

$f_1$

FFT có thể được sử dụng cho các điều kiện biên định kỳ. Bởi vì các điều kiện biên của von Neumann là các điều kiện biên "phản chiếu" một cách hiệu quả, bạn phải thực hiện "tiếp tục nhân đôi", trước khi bạn có thể áp dụng FFT. Một nhược điểm của phương pháp này là bạn sẽ làm tăng khối lượng dữ liệu theo hệ số 4 (điều này không quan trọng nếu bạn chỉ muốn thử nghiệm một chút). Việc sử dụng biến đổi cosine hoàn toàn làm "tiếp tục nhân đôi" và tránh được yếu tố 4 trên không.

Lưu ý rằng tùy thuộc vào vị trí của các điểm lưới gần ranh giới, có hai cách khác nhau để thực hiện "tiếp tục nhân đôi rời rạc". Do đó, bạn sẽ thấy rằng các thư viện như FFTW cung cấp các biến thể khác nhau của biến đổi cosine (tương ứng với các "tiếp tục nhân đôi rời rạc" khác nhau).

— Thomas Klimpel
nguồn