Áp dụng các điều kiện tương thích cho phương pháp phần tử hữu hạn hỗn hợp trong phương trình Stokes

$\newcommand{\v}[1]{\boldsymbol{#1}}$ Giả sử chúng ta có phương trình mô hình dòng Stokes:

$$\tag{1} \left\{ \begin{aligned} -\mathrm{div}(\nu \nabla \v{u}) + \nabla p &= \v{f} \\ \mathrm{div} \v{u} &= 0 \end{aligned} \right.$$ Trong đó độ nhớt $\nu(x)$ là một hàm, đối với phần tử hữu hạn hỗn hợp tiêu chuẩn, giả sử chúng ta sử dụng cặp ổn định: Không gian Crouzeix-Raviart $\v{V}_h$ cho vận tốc $\v{u}$ và không gian hằng số phần tử $S_h$ cho áp suất $p$ , chúng ta có dạng biến thiên sau:

$$\mathcal{L}([\v{u},p],[\v{v},q]) = \int_{\Omega} \nu \nabla\v{u}:\nabla \v{v} -\int_{\Omega} q\mathrm{div} \v{u} -\int_{\Omega} p\mathrm{div} \v{v} =\int_{\Omega} \v{f}\cdot \v{v} \quad \forall \v{v}\times q\in \v{V}_h\times S_h$$

và chúng ta biết rằng vì số nhân Lagrange $p$ có thể được xác định đến một hằng số, ma trận được lắp ráp cuối cùng nên có nullspace $1$ , để phá vỡ điều này, chúng ta có thể thực thi áp suất $p$ trên một số phần tử nhất định bằng 0, do đó chúng ta không phải giải quyết một hệ thống số ít.

Vì vậy, đây là câu hỏi của tôi 1:

• (Q1) Có cách nào khác ngoài việc thực thi $p=0$ trên một số phần tử để loại bỏ hạt nhân cho phần tử hữu hạn hỗn hợp tiêu chuẩn không? hoặc nói, bất kỳ người giải quyết nào có thể giải quyết hệ thống số ít để có được một giải pháp tương thích? (hoặc một số tài liệu tham khảo đều được chào đón)

Và về khả năng tương thích, với (1), nó phải là

$$\int_{\Omega} \nu^{-1} p = 0$$ và mẹo nhỏ hay là tính toán $\tilde{p}$ là $p$ chúng ta có được từ giải pháp của hệ thống tuyến tính được trừ bởi trung bình có trọng số của nó: $$\tag{2} \tilde{p} = p - \frac{\nu}{|\Omega|}\int_{\Omega} \nu^{-1} p$$

Tuy nhiên, gần đây tôi mới triển khai phần tử hữu hạn hỗn hợp P_1-P_0 ổn định cho phương trình Stokes của Bochev, Dohrmann và Gunzberger$P_1-P_0$ , trong đó họ đã thêm một thuật ngữ ổn định vào công thức biến đổi (1):

$$\widetilde{\mathcal{L}}([\v{u},p],[\v{v},q]) =\mathcal{L}([\v{u},p],[\v{v},q]) -\int_{\Omega} (p - \Pi_1 p)(q -\Pi_1 q) =\int_{\Omega} \v{f}\cdot \v{v} \quad \forall \v{v}\times q\in \v{V}_h\times S_h$$ nơi $\Pi_1$ là chiếu từ piecewise không gian liên tục $P_0$ để piecewise tục $P_1$ , và hạt nhân liên tục của các phần tử hữu hạn hỗn hợp ban đầu đã biến mất, tuy nhiên, điều kỳ lạ đã xảy ra, (2) doesn Không làm việc nữa, tôi đặt ra vấn đề kiểm tra từmột vấn đề giao diện cho phương trình khuếch tán , đây là những gì tôi nhận được cho áp suất $p$ , bên phải là giải pháp thực sự và bên trái là xấp xỉ bằng số:

tuy nhiên nếu $\nu$ là hằng số, thì sự cố kiểm tra thực hiện tốt:

Tôi đoán đó là vì cách tôi áp đặt điều kiện tương thích, vì nó được liên kết với tính ổn định của toàn hệ thống, đây là câu hỏi thứ hai của tôi:

• (Q2): có cách nào khác ngoài (2) để áp đặt khả năng tương thích cho áp suất $p$ không? hoặc trong khi đặt vấn đề kiểm tra, tôi nên sử dụng loại $p$ nào?

Các điều kiện tương thích liên quan đến vận tốc, không áp lực. Nó tuyên bố rằng nếu bạn chỉ có các điều kiện biên Dirichlet cho vận tốc, thì các điều kiện này phải tương thích với ràng buộc không phân kỳ, tức là với ranh giới của miền tính toán (không phải ô).$\int_{\partial \Omega} u \cdot n = 0$$\partial \Omega$

Trong trường hợp này, không thể được phân biệt với với là hằng số tùy ý vì bạn không có điều kiện biên trên để sửa hằng số. Do đó, có vô số giải pháp cho áp lực và để so sánh các giải pháp, cần có một quy ước. Các nhà toán học thích chọn sao cho (vì họ có thể tích hợp) trong khi nhà vật lý thích (vì họ có thể đo bằng a điểm). Nếu là tương đương rời rạc của bạn với , thì nó ngụ ý rằng$\nabla p$$\nabla (p + c)$$c$$p$$c$$\overline{p}=p_\mathrm{ref}$$p(x_\mathrm{ref}) = p_\mathrm{ref}$$Bp$$\nabla p$$B$ có một không gian rỗng bao gồm các vectơ nhận dạng.

Các phương thức không gian con Krylov có thể giải quyết một hệ thống đơn lẻ bằng cách loại bỏ không gian null khỏi không gian con Krylov mà chúng tìm kiếm giải pháp. Tuy nhiên, điều đó không có nghĩa là bạn sẽ có được giải pháp phù hợp với quy ước nhất định, bạn sẽ luôn cần tự xác định hằng số trong bước xử lý hậu kỳ, không người giải quyết nào có thể làm điều đó cho bạn.$p$

Dưới đây là một số gợi ý để giải quyết vấn đề của bạn:

• Phương trình (2) có vẻ lạ. Nếu là hàm của làm sao nó có thể nằm ngoài tích phân?$\nu$$x$
• Trường vận tốc của bạn có thỏa mãn các ràng buộc tương thích không?
• Cố gắng không làm bất cứ điều gì cho áp lực, chỉ cần để người giải quyết tự do đưa ra một , sau đó nhìn vào . Nó là một hằng số?$p$$p-p_\mathrm{exact}$
• Nếu không, bạn có chắc chắn rằng không gian null của thực sự là vectơ nhận dạng và không có gì nữa? Cả trên giấy và trong mã? Vấn đề dường như đủ nhỏ để thực sự tính toán không gian null.$B$

Đối với (Q1), bạn có thể chọn một bộ giải cho các vấn đề về điểm yên tính toán một giải pháp bình phương tối thiểu cho hệ thống của bạn. Sau đó, một điều kiện bổ sung có thể được áp dụng cho cấp số nhân, như đặt mức độ tự do cụ thể, đang áp đặt mức trung bình cụ thể.

Nói chung, và tôi nghĩ câu trả lời này (Q1), bạn có thể sử dụng một ràng buộc tuyến tính có thể phân biệt các hằng số khác nhau.

Ràng buộc này có thể được áp đặt trong một bước xử lý hậu kỳ, hoặc bằng cách lựa chọn phù hợp không gian dùng thử (ví dụ: nếu bạn rời khỏi một mức độ tự do).