Về mặt toán học, tại sao khối lượng ma trận khối / tải vector hoạt động?

Tôi biết rằng mọi người thường thay thế ma trận khối lượng nhất quán bằng ma trận đường chéo gộp. Trước đây, tôi cũng đã thực hiện một mã trong đó vectơ tải được lắp ráp theo kiểu gộp chứ không phải theo kiểu nhất quán FEM. Nhưng tôi chưa bao giờ nhìn vào lý do tại sao chúng ta được phép làm điều này ngay từ đầu.

Trực giác đằng sau việc nhảy cho phép người ta áp dụng nó vào các vectơ khối lượng và tải là gì? Biện minh toán học cho nó là gì? Trong những tình huống nào là không được phép / không phải là một xấp xỉ tốt cho các vectơ khối lượng và tải trọng?

Trong phương pháp phần tử hữu hạn, các mục ma trận và các mục bên phải được xác định là tích phân. Nói chung, chúng ta có thể không tính toán chính xác những điều này và áp dụng phương trình bậc hai. Nhưng có nhiều công thức bậc hai người ta có thể chọn, và người ta thường chọn chúng theo cách sao cho (i) lỗi được đưa ra bởi phương trình bậc hai có cùng thứ tự như vậy do sự rời rạc, hoặc ít nhất là không tệ hơn đáng kể, và (ii) ma trận có các thuộc tính nhất định hóa ra thuận tiện.

Khối lượng lớn là một ví dụ về công việc này: Nếu người ta chọn một công thức bậc hai cụ thể (cụ thể là một công thức có các điểm cầu phương nằm tại các điểm nội suy của phần tử hữu hạn), thì ma trận khối kết quả sẽ xảy ra theo đường chéo. Điều đó khá thuận tiện cho việc triển khai tính toán và lý do tại sao mọi người sử dụng các công thức bậc hai này. Đó cũng là lý do tại sao nó "hoạt động": Sự lựa chọn đặc biệt này của công thức bậc hai vẫn có thứ tự khá cao.

Ma trận đường chéo có lợi thế rõ ràng trong việc tăng tốc tính toán số và câu trả lời của Wolfgang Bangerth là một lời giải thích tốt về cách tính ma trận khối chéo, nhưng nó không trả lời câu hỏi của OP "tại sao nó lại hoạt động " theo nghĩa "tại sao lại như vậy" nó gần đúng với vật lý mà bạn đang tạo mẫu ".

Về mặt khái niệm, bạn có thể tách phản ứng của một phần tử thành ba phần: chuyển động tịnh tiến của một vật cứng, xoay cứng về tâm khối lượng của phần tử và biến dạng của phần tử.

$\frac 1 2 v^T M v$$v$

$a$$a^3$$a^5$

Do đó, bạn chỉ thực sự cần một xấp xỉ "tốt" cho các phần cơ thể cứng của chuyển động, tức là 6 DOF, và trên thực tế, một xấp xỉ tốt chỉ với KE từ bản dịch cơ thể cứng , tức là 3 DOF, sẽ hội tụ khi kích thước phần tử là giảm.

Các thuật ngữ đường chéo của ma trận phần tử chứa nhiều hơn các tham số độc lập đủ để biểu thị các thuật ngữ 3 hoặc 6 KE đó với độ chính xác đủ. Trong thực tế đối với các phần tử bậc cao hơn, bạn có thể sử dụng ma trận khối lượng đường chéo khối lượng trong đó các điều khoản đường chéo cho các nút ở giữa là 0.

Lưu ý rằng đây là một tình huống hoàn toàn khác với năng lượng tiềm năng của nguyên tố, trong đó các đóng góp từ dịch và xoay cơ thể cứng bằng không, và điều duy nhất quan trọng là biểu thị năng lượng biến dạng tương ứng với biến dạng của phần tử . Do đó, một ma trận độ cứng đường chéo sẽ không phải là một ý tưởng khả thi!

Ngoài các câu trả lời khác, có các kịch bản trong đó các lỗi trong ma trận khối không có ảnh hưởng đến kết quả mong muốn.

$K(u) \space u = f(u)$$\hat{u}$$K(u) \space u + C(u) \space \dot{u} + M \space \ddot{u} = f(u)$$M$$C$$\dot{u} = \ddot{u} = 0$$M$

$M$$M^{-1}$

^{1 Mặc dù lý luận về hành vi vật lý động dĩ nhiên dễ dàng hơn với ma trận khối "chính xác" - ví dụ động lượng góc có thể được bảo toàn không chính xác bởi ma trận khối gộp.}