Tối đa hóa đồng thời hai chức năng mà không có dẫn xuất có sẵn

Tôi có hai biến kvà tlà hàm của hai biến khác p1và p2. Tôi cũng biết giá trị tối đa của họ. Tôi không có bất kỳ biểu hiện phân tích cho điều này. Tôi muốn tìm các giá trị của kvà tđó là gần nhất với giá trị tối đa của họ.

Có cách nào để tối ưu hóa k = f1(p1, p2)và t = f2(p1, p2)?

Tôi có thể thử kiểm tra sản phẩm k0 * t0hoặc sản phẩm của hình vuông k0^2 * t0^2hoặc một số mối quan hệ khác của hai.

Đây có phải là hiệu quả và cách nào để đi?

Cảm ơn bạn.

Có hai vấn đề ở đây:

1. Vấn đề tối ưu hóa của bạn có hai mục tiêu cạnh tranh: tối đa hóa $k=f_1(p_1,p_2)$ và tối đa hóa $t = f_2(p_1,p_2)$ . Điều này được gọi là tối ưu hóa đa mục tiêu (hoặc đa tiêu chí ) và các vấn đề như vậy có vô số giải pháp, mỗi giải pháp dựa trên một lựa chọn cụ thể về trọng số tương đối của các mục tiêu (nghĩa là, điều quan trọng hơn đối với $f_1$ là gần với giá trị tối đa hơn cho $f_2$?). Nếu cả hai đều có cùng tầm quan trọng đối với bạn, thì bạn có thể chỉ cần thu nhỏ hàm

   $$F(p_1,p_2) = (f_1(p_1,p_2)-K)^2 + (f_2(p_1,p_2)-T)^2,$$ trong đó $K$ và $T$ là các giá trị tối đa đã biết của $k$ và $t$, tương ứng. Nếu không, bạn sẽ thêm một trọng lượng tương ứng trước mỗi nhiệm kỳ. (Nếu không biết các giá trị tối đa, thay vào đó bạn sẽ thu nhỏ $-f_1^2-f_2^2$ )

2. Để tìm một bộ giảm thiểu $F$ , bạn chỉ có thể sử dụng các giá trị hàm của $F$ tại một điểm nhất định $(p_1,p_2)$ . Điều này được gọi là tối ưu hóa miễn phí phái sinh ; xem, ví dụ, Giới thiệu về Tối ưu hóa miễn phí phái sinh của Conn, Scheinberg và Vicente hoặc chương 9 trong Tối ưu hóa số . Hầu hết trong số này sử dụng các đạo hàm gần đúng dựa trên sự khác biệt hữu hạn hoặc đạo hàm của các hàm nội suy. Vì $F$ là một hàm chỉ có hai biến, nên việc xây dựng các xấp xỉ sai phân hữu hạn của Hessian đầy đủ không quá đắt (hoặc không ổn định). Ý tưởng là như sau: cho một điểm $p^k=(p_1^k,p_2^k)$ , bạn xây dựng mô hình bậc hai cục bộ

   $$m_k(p^k + d) = F(p^k) + (g^k)^T d + \frac{1}{2} d^TH^kd,$$ tính toán bộ giảm thiểu của nó$d^k$và đặt$p^{k+1} = p^k+d^k$. Ở đây, đối với một nhỏ (nhưng không phải là quá nhỏ, xem dưới đây)$\epsilon>0$, $$g^k = (g_1,g_2)^T,\quad g_i = \frac{F(p^k+\epsilon e_i)-F(p^k-\epsilon e_i)}{2\epsilon}$$ với$e_1 = (1,0)^T$và$e_2 = (0,1)^T$, là độ dốc gần đúng và $$H^k = \begin{pmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{pmatrix}, \quad h_{ij} = \frac{F(p^k+\epsilon e_i + \epsilon e_j) - F(p^k + \epsilon e_i) - F(p^k+\epsilon e_j) + F(p^k)}{\epsilon^2}$$ là một xấp xỉ Taylor của Hessian. Điều này đòi hỏi phải đánh giá$F$ở 5 điểm bổ sung trong mỗi lần lặp.

   $\epsilon$$\epsilon = {u}^{1/3}$$u$$10^{-16}$

   $d^k$

   Có thể tìm thấy sự so sánh các thuật toán và triển khai để tối ưu hóa không có đạo hàm trên trang web này , kèm theo bài báo "Tối ưu hóa không có đạo hàm: Đánh giá các thuật toán và so sánh các triển khai phần mềm" của Luis Miguel Rios và Nikolaos V. Sahinidis

$k+a*t$$a$$k$$t$$a$

Đối với việc tối ưu hóa thực tế, việc không có biểu thức phân tích cho các chức năng không phải là kết thúc của thế giới, nhưng không có bất kỳ thông tin nào sẽ khiến nó trở nên thô ráp. Nếu bạn có thể giả định mức độ mượt mà / liên tục, ngay cả khi nó chỉ là phần khôn ngoan, bạn có thể sử dụng thuật toán tìm gốc trên một xấp xỉ đạo hàm để tìm cực đại cục bộ (có nhiều phương pháp phức tạp hơn phương pháp này, nhưng tôi không quen Họ. Những người khác ở đây có thể chỉ cho bạn đi đúng hướng). Nếu bạn có thể thiết lập độ lồi, bạn có thể mở rộng nó thành tối ưu toàn cầu.

Tối ưu hóa đa mục tiêu hộp đen thực sự không phải là một vấn đề dễ dàng, nhưng một vài giả định và một quy trình lặp với giảm mục tiêu sẽ giúp bạn có một câu trả lời chấp nhận được (giả sử tồn tại).