Có một cách tiếp cận chung để xây dựng một phương pháp chiếu cho các vấn đề khác nhau không?

Câu hỏi của tôi có lẽ sẽ quá chung chung để trả lời nó với một vài từ. Bạn có thể vui lòng đề nghị một bài đọc tốt trong trường hợp đó. Phương pháp chiếu được sử dụng để giảm kích thước của không gian giải pháp cho các vấn đề. Và có ít nhất hai ứng dụng rất thú vị (theo quan điểm của tôi). Đầu tiên là giải các bài toán cơ học liên tục (Phần tử hữu hạn, phương pháp Ritz) và cách thứ hai là giải các hệ phương trình tuyến tính (phương pháp không gian con Krylov).

Câu hỏi là như sau: Có một lý thuyết hoặc một phần phân tích nào đó nghiên cứu các phương pháp chiếu trong tất cả các ứng dụng của chúng không? Nếu vậy, các phương pháp khác, như phương pháp khối lượng hữu hạn, có thể được xây dựng từ điểm bắt đầu này không?

Tôi đã học FEA ở trường đại học nhưng hiện tại, tất cả các xấp xỉ rời rạc giống như một bộ "công cụ" riêng biệt mà tôi có thể sử dụng trong một số trường hợp cụ thể. Cảm ơn.

Cách tiếp cận Galerkin (tìm kiếm một xấp xỉ từ một không gian con sao cho phần dư là trực giao với một không gian con V đã cho khác ) thực sự rất chung chung (và không bị giới hạn trong các không gian chiều hữu hạn). Trong bối cảnh giải pháp số của phương trình vi phân từng phần, về cơ bản có hai điều kiện mà U và V phải thỏa mãn:$U$$V$$U$$V$

1. $Ax=b$$\dim U = \dim V$$V$$A$$U$

2. $U$$V$

$U$$V$

Hầu hết các sách giáo khoa toán học hiện đại về phương pháp phần tử hữu hạn đều theo phương pháp này. Hai ví dụ điển hình là

• Brenner, Scott: Lý thuyết toán học về phương pháp phần tử hữu hạn
• Ern, Guermond: Lý thuyết và thực hành các yếu tố hữu hạn

.

Đối với các hệ thống tuyến tính, một cuộc thảo luận chung về phương pháp chiếu được đưa ra trong cuốn sách của Saad .

Đối với giải pháp của phương trình vi phân, có thể hữu ích khi nghĩ theo Phương pháp dư lượng có trọng số (MWR) do Crandall (1956) đưa ra và được mô tả trong bài đánh giá đầu tiên của Finnlayson và Scriven (1966) như

"Phương pháp dư lượng có trọng số thống nhất nhiều phương pháp gần đúng của giải pháp phương trình vi phân đang được sử dụng hiện nay."

và

"Phương pháp dư lượng có trọng lượng là một công cụ của kỹ sư để tìm các giải pháp gần đúng cho các phương trình thay đổi của các hệ phân tán."

Nói tóm lại, phương pháp MWR thống nhất một cách có hệ thống một số phương pháp phân biệt phổ biến.

Đây có phải là những gì bạn đã nghĩ đến?

Đối với giải pháp của các hệ phương trình tuyến tính, tôi thấy các phương thức không gian con Krylov là một cách tiếp cận chung để xây dựng các phương pháp chiếu. Phần cụ thể nhất của các phương pháp này là sự lựa chọn tiền điều kiện để tăng tốc độ hội tụ - và đây thường là vấn đề cụ thể làm thế nào để đưa ra lựa chọn đó.