Các lựa chọn thay thế cho phân tích ổn định von neumann cho các phương pháp sai phân hữu hạn

13

Tôi đang làm việc để giải các phương trình poroelasticity một chiều (mô hình của biot), được đưa ra như sau:

trên miềnvà với các điều kiện biên:

- (λ + 2 μ) \frac{\partial^{2} bạn}{\partial x^{2}} + \frac{\partial p}{\partial x} = = 0

$-(\lambda+ 2\mu) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0$

\frac{\partial}{\partial t} [γ p + \frac{\partial bạn}{\partial x}] - \frac{κ}{η} [\frac{\partial^{2} p}{\partial x^{2}}] = = q (x, t)

$\frac{\partial}{\partial t} \left[ \gamma p + \frac{\partial u}{\partial x}\right] -\frac{\kappa}{\eta}\left[\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}\right] =q(x,t)$

Ω = (0, 1)

$\Omega=(0,1)$

$p=0, (\lambda + 2\mu)\frac{\partial u}{\partial x}=-u_0$ tại và tại . $x=0$ $u=0, \frac{\partial p}{\partial x} = 0$ $x=1$

Tôi đã loại bỏ các phương trình này bằng cách sử dụng sơ đồ sai phân hữu hạn tập trung:

(λ + 2 μ) \frac{u_{i + 1}^{t + 1} - 2 u_{i}^{t + 1} + u_{i - 1}^{t + 1}}{Δ x^{2}} + \frac{p_{i + 1}^{t + 1} - p_{i - 1}^{t + 1}}{2 Δ x} = 0

$(\lambda + 2\mu)\frac{u^{t+1}_{i+1}-2u^{t+1}_i+u^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2} + \frac{p^{t+1}_{i+1}-p^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x} = 0$

γ \frac{p_{i}^{t + 1} - p_{i}^{t}}{Δ t} + \frac{u_{i + 1}^{t + 1} - u_{i - 1}^{t + 1}}{2 Δ x Δ t} - [\frac{u_{i + 1}^{t} - u_{i - 1}^{t}}{2 Δ x Δ t}] - \frac{κ}{η} [\frac{p_{i + 1}^{t + 1} - 2 p_{i}^{t + 1} + p_{i - 1}^{t + 1}}{Δ x^{2}}] = q_{i}^{t + 1}

$\gamma \frac{p^{t+1}_i-p^t_i}{\Delta t} + \frac{u^{t+1}_{i+1}-u^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x \Delta t} -\left[ \frac{u^t_{i+1}-u^t_{i-1}}{2\Delta x \Delta t}\right] - \frac{\kappa}{\eta}\left[ \frac{p^{t+1}_{i+1} -2p^{t+1}_i + p^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2}\right]=q^{t+1}_i$

Tôi hiện đang tìm hiểu chi tiết về sự hội tụ của chương trình bằng cách phân tích tính nhất quán và ổn định của nó. Phần nhất quán có vẻ khá đơn giản đối với tôi, nhưng tôi đã thấy trước một số khó khăn với phân tích độ ổn định. Trước hết, có hai biến và hai phương trình. Thứ hai, cũng có một thuật ngữ phái sinh hỗn hợp trong phương trình thứ hai. Tôi quen thuộc với phân tích độ ổn định von neumann và có thể thấy rằng sẽ rất khó khăn để thiết lập sự ổn định với phương pháp này. Có sự thay thế nào cho phân tích von neumann mà tôi có thể sử dụng không?

— Paul
nguồn

1

Nếu bạn không cảm thấy thoải mái khi thực hiện phân tích với một hệ phương trình, chỉ cần phân biệt phương trình thứ nhất với

và phương trình thứ hai đối với

. Sau đó sử dụng bình đẳng của các dẫn xuất một phần hỗn hợp để loại bỏ

.

t

$t$

x

$x$

u

$u$

— David Ketcheson

@DavidKetcheson: Thú vị. Về bản chất, bạn đang đề xuất rằng tôi có thể giảm hệ thống thành một biến duy nhất và tiến hành phân tích von neumann tiêu chuẩn trên

mà không làm mất tính tổng quát đối với

?

p

$p$

u

$u$

— Paul

Đó là cùng một vấn đề, cho dù bạn viết nó như một hệ thống hay PDE vô hướng.

— David Ketcheson

7

Nếu bạn thay thế, ít nhất là cho phân tích của bạn, by, bạn có thể viết hệ thống của mình dưới dạng $\frac{\partial u}{\partial x}$ $u_x$ trong đó tất cả các hằng số được đặt thành và trong đó chỉ số phụ

[\begin{matrix} 0 & 0 \\ Tôi & Tôi \end{matrix}] \frac{d}{d t} [\begin{matrix} p_{h} (t) \\ {bạn}_{x, h} (t) \end{matrix}] + [\begin{matrix} - \partial_{h} & \partial_{h} \\ - Δ_{h} & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} p_{h} (t) \\ {bạn}_{x, h} (t) \end{matrix}] = = [\begin{matrix} q_{h} (t) \\ 0 \end{matrix}] (*)

$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ I & I \end{bmatrix} \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ -\Delta_h & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} q_h(t) \\ 0 \end{bmatrix} \quad (*)$

1

$1$

đề cập đến sự phân tách không gian cả hai biến và toán tử vi phân. Đề án của bạn sau đó có được bằng cách xấp xỉ

_{h}

${}_h$

thông qua Euler ẩn.

\frac{d}{d t}

$\frac{d}{dt}$

Bây giờ cấu trúc đại số vi phân (DAE) là hiển nhiên. Đối với các biến có cả phương trình vi phân (theo thời gian) và đại số.

Nếu bạn có thể chỉ ra rằng là không thể đảo ngược, hãy xem bản in này [p. 3] và chỉnh sửa bên dưới, hơn DAE là chỉ số 1 hoặc Euler không có gì lạ và ẩn được biết là hội tụ, xem Định lý 5.12 trong cuốn sách này . (Tuyên bố miễn trừ trách nhiệm: Cuốn sách này không có sẵn miễn phí và được viết bởi người giám sát tiến sĩ của tôi) $\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ I & I \end{bmatrix}$

Với phương pháp này, bạn có thể có được xung quanh phân tích độ ổn định.

$L^2$ $(*)$ $\Delta_h$ $\partial_h$

$(*)$ $u\leftarrow u_x$

PHỤ LỤC: Một DAE được gọi là chỉ số 1, nếu nó có thể được chuyển đổi thành ODE mà không phân biệt các phương trình.

[\begin{matrix} E_{1} \\ 0 \end{matrix}] \dot{y} + [\begin{matrix} {Một}_{1} \\ {Một}_{2} \end{matrix}] y = = f .

$\begin{bmatrix} E_1 \\ 0 \end{bmatrix}\dot y + \begin{bmatrix} A_1 \\ A_2 \end{bmatrix} y = f.$

[\begin{matrix} E_{1} \\ A_{2} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix}$

\tilde{y} \to y

$\tilde y \to y$

[\begin{matrix} E_{1} \\ A_{2} \end{matrix}] \to [\begin{matrix} {\tilde{E}}_{11} & {\tilde{E}}_{12} \\ {\tilde{A}}_{21} & {\tilde{A}}_{22} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \tilde E_{11} & \tilde E_{12} \\ \tilde A_{21} & \tilde A_{22} \end{bmatrix}$

{\tilde{A}}_{22}

$\tilde A_{22}$

A_{2}

$A_2$

{\tilde{A}}_{11} - {\tilde{E}}_{12} {\tilde{A}}_{22}^{- 1} {\tilde{A}}_{21}

$\tilde A_{11} - \tilde E_{12} \tilde A_{22}^{-1} \tilde A_{21}$

$(*)$ $A_2:=[-\partial_h ~ \partial_h]$ $\tilde y_2$ $(p_h,u_{x,h})$ $\frac{d}{dt}\tilde y_2$ $(*)$

— tháng một
nguồn

[\begin{array}{cc} - \partial_{h} & \partial_{h} \\ Tôi & Tôi \end{array}]

$\left[\begin{array}{cc}-\partial_h &\partial_h\\ I & I \end{array}\right]$

@ Paul tôi không tìm thấy một định lý để tham khảo, vì vậy tôi sẽ chèn các đối số vào câu trả lời của tôi ...

— Jan

4

Tôi không quen thuộc với các phương trình được đưa ra ở đây, nhưng tôi nhớ học một phương pháp khác để kiểm tra tính ổn định của sơ đồ số trong khóa học của tôi. Nó được gọi là phân tích phương trình sửa đổi.

Đây là một tài liệu tham khảo tốt cho điều đó,

http://193.146.160.29/gtb/sod/usu/$UBUG/repositorio/10291890_Warming.pdf

Trong tài liệu tham khảo ở trên, mối liên hệ giữa lý thuyết ổn định dựa trên phân tích Phương trình đã sửa đổi và phân tích ổn định Von Neumann được thiết lập.

Sau một chút tìm kiếm trực tuyến, tôi đã xem qua các tài liệu tham khảo,

Bài viết này thảo luận về mô hình khác biệt hữu hạn của phương trình poroelastic của Biot ở tần số địa chấn. Nó có một phần về sự ổn định của sơ đồ số là tốt.

Bài viết này trình bày một chiến lược giải pháp tách rời hệ thống được ghép nối và kiểm tra tính ổn định của sơ đồ số.

— Subodh
nguồn

Tôi đã không thực hiện phân tích phương trình sửa đổi trên các phương trình trên, nhưng như câu hỏi yêu cầu thay thế cho phân tích Von Neumann, tôi đã viết câu trả lời ở trên. Nó hoàn toàn có thể là nó không trả lời câu hỏi. Nhưng ai đó có thể thấy các tài liệu tham khảo được liệt kê hữu ích trong công việc của mình.

— Subodh

Cảm ơn bạn đã tham khảo! Tôi có thể thấy rằng biểu mẫu cần thiết trong bài viết Phân tích phương trình đã sửa đổi của bạn không hoàn toàn phù hợp với các phương trình tôi đang sử dụng, nhưng nó khá hấp dẫn để tìm hiểu các kỹ thuật phân tích mới!

— Paul