Điều kiện tiên quyết hiệu quả cho Lagrangian Augmented

Tôi muốn giải quyết một vấn đề phi tuyến tính với các ràng buộc đẳng thức phi tuyến tính và tôi đang sử dụng Lagrangian tăng cường với một thuật ngữ chính quy hóa hình phạt, như được biết đến, làm hỏng số điều kiện của các hệ thống tuyến tính của tôi (ở mỗi lần lặp Newton) . Thời hạn phạt càng lớn, số điều kiện càng tệ. Ai đó sẽ biết một cách hiệu quả để thoát khỏi tình trạng tồi tệ này trong trường hợp cụ thể đó?

Cụ thể hơn, tôi đang sử dụng lagrangian tăng cường cổ điển bởi vì tôi có rất nhiều ràng buộc mà thường có thể là dư thừa. Vì vậy, mù quáng kết hợp các ràng buộc direclty vào các biến nguyên thủy là rất thuận tiện. Tôi đã thử các cách tiếp cận tinh vi hơn khác dựa trên việc loại bỏ biến hoặc các điều kiện tiên quyết hiệu quả trực tiếp trên hệ thống KKT, nhưng vì sự hạn chế dư thừa, tôi gặp một số rắc rối.

Các vấn đề liên quan đến với biến được xây dựng như sau Lagrangian của tôi là hình thức L ( u , λ ) : = W ( u ) + ρ λ $\mathbf u =[u_1,\cdots,u_n]$

$$\mathcal L(\mathbf u,\lambda):= \mathcal W(\mathbf u) + \rho \lambda^T \,c(\mathbf u) + \frac{\rho}{2} c^2(\mathbf u)$$

Vì vậy, nói chung Mục tiêu ở mỗi lần lặp Newton là giải một bài toán có dạng Với (chúng ta thả hessian của ràng buộc) A ( u , ρ ) : = ∇ 2 u W ( u ) + ρ C T ( u ) C ( u ) và b ( u , ρ ) : = - ( ∇ u W ( u ) +

$$A \Delta u = b$$ $$A(\mathbf u,\rho): = \nabla_{\mathbf u}^2 \mathcal W(\mathbf u) + \rho C^T(\mathbf u)C(\mathbf u)$$ và thủ đô C có nghĩa là cho C ( u ) : = ∇ u c ( u ) . $$b(\mathbf u,\rho) :=- \big(\nabla_{\mathbf u}\mathcal W(\mathbf u) +(\rho +\lambda^Tc(\mathbf u)) \nabla_{\mathbf u}(\mathbf u)\big)$$ $C$$C(\mathbf u) := \nabla_{\mathbf u} c(\mathbf u)$

Cảm ơn bạn.

Tùy thuộc vào cấu trúc vấn đề, bạn có thể giải quyết trực tiếp hệ thống Lagrangian Augmented có điều kiện. Ví dụ, BDDC / FETI-DP có thể giải quyết độ co giãn gần như không thể nén ở dạng nguyên thủy với tốc độ hội tụ độc lập với tỷ lệ Poisson (hằng số piecewise trên các tên miền phụ, nhưng với các bước nhảy tùy ý). Tương tự, các phương thức multigrid tái tạo chính xác chế độ thể tích có thể có thuộc tính này. Các phương pháp như vậy là cụ thể cho vấn đề và nói chung, hình phạt lớn dẫn đến các hệ thống khó điều kiện tiên quyết.

Để cho phép linh hoạt hơn trong lựa chọn tiền xử lý, tôi khuyên bạn nên giới thiệu các biến kép rõ ràng và viết hệ thống điểm yên lớn hơn

$$\begin{pmatrix}A & C^T \\ C & -\rho^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ 0 \end{pmatrix}$$

theo đề xuất của Arnold Neumaier. Hệ thống này được điều hòa tốt hơn nhiều và cho phép bạn đánh giá chính xác một phần dư. Nếu một điều kiện tiên quyết cho một số hệ thống bị phạt$A - \tilde\rho C^T C$$\tilde \rho \le \rho$$-\rho^{-1} - C A^{-1} C^T$PCFIELDSPLIT

Nếu bạn có thể cụ thể hơn về nguồn gốc của vấn đề của bạn (bạn đang giảm thiểu điều gì và hạn chế là gì), tôi có thể đề xuất các tài liệu tham khảo cụ thể hơn.

Giới thiệu các biến bổ sung cho các điều khoản làm hỏng trong điều kiện KT và bạn có thể tìm thấy một hệ thống đối xứng lớn hơn, hoạt động tốt về mặt số lượng, chỉ có nghịch đảo của yếu tố hình phạt đi vào ma trận.

$(A+\rho C^TC)x=b~$$\rho$$y=\rho Cx$$Ax+C^Ty=b$$Cx-\rho^{-1}y=0$