Làm cách nào để tích hợp biểu thức đa thức trên phần tử 4 nút 3D?

Tôi muốn tích hợp một biểu thức đa thức trên một phần tử 4 nút trong 3D. Một số cuốn sách về FEA bao gồm trường hợp tích hợp được thực hiện trên một phần tử 4 không phẳng tùy ý. Quy trình thông thường trong trường hợp này là tìm ma trận Jacobi và sử dụng nó là yếu tố quyết định để thay đổi cơ sở tích hợp thành cơ sở chuẩn hóa trong đó tôi có giới hạn tích hợp đơn giản hơn [-1; 1] và kỹ thuật bậc hai Gauss-Legendre được sử dụng dễ dàng.

Nói cách khác, được rút gọn thành dạng $\displaystyle\int_S f(x,y)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,$ $\displaystyle\int^{-1}_{1}\int^{-1}_{1} \tilde{f}(e,n)\ \left|\det(J)\right|\,\mathrm{d}e\,\mathrm{d}n$

Nhưng trong trường hợp 2D, tôi thay đổi phần tử tùy ý phẳng thành phần tử phẳng nhưng hình vuông 2 bằng 2.

Nói chung, phần tử 4 nút 3D không phẳng nhưng tôi cho rằng nó vẫn có thể được ánh xạ với hệ tọa độ 2D có liên quan đến hệ tọa độ cartesian. Tôi không thể tìm ra cách diễn đạt {x, y, z} theo {e, n} và kích thước của ma trận Jacobi trong trường hợp này (nó được coi là hình vuông).

Miền 2D và 3D

finite-element quadrature

— danny_23
nguồn

Bạn đang tích hợp một hàm trên đa tạp 2 chiều được nhúng trong ; sách phân tích về đa tạp (như sách có thể truy cập của Munkres, hoặc sách về đa tạp của Lee) rất hữu ích trong việc thảo luận về lý thuyết xác định loại tích phân này. $\mathbb{R}^{3}$

Giả sử là hàm có giá trị thực được xác định trên đa tạp , là phần tử 3-nút 3 nút của bạn. $f$ $\mathcal{M}$

Bạn muốn tính toán:

\begin{aligned} \int_{M} f d S . \end{aligned}

$\begin{align} \int_{\mathcal{M}} f \,\mathrm{d}S. \end{align}$

Giả sử là một hàm ánh xạ thành . Sau đó $\varphi$ $[-1,1]^{2}$ $\mathcal{M}$

\begin{aligned} \int_{M} f d S = = \int_{[- 1, 1]^{2}} f (φ (x, y)) (phát hiện (D φ^{T} (x, y) D φ (x, y)))^{1 / 2} d x d y \end{aligned}

$\begin{align} \int_{\mathcal{M}} f \,\mathrm{d}S = \int_{[-1,1]^{2}} f(\varphi(x,y))\Big(\det\big(\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}(x,y)\mathrm{D}\varphi(x,y)\big)\Big)^{1/2}\, \mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \end{align}$

(Tôi sử dụng này tập hợp các ghi chú để làm mới bộ nhớ của tôi.) Ở trên, là ma trận Jacobian của , và là transpose của nó. $\mathrm{D}\varphi$ $\varphi$ $\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}$

Khi bạn có thể viết tích phân trên , thì bạn có thể sử dụng các phương thức số để đánh giá nó. $[-1,1]^{2}$

Một vài bình luận:

Tôi khá chắc chắn rằng phần tử 3-D 3 nút của bạn là một đa tạp. Nếu đúng như vậy, hàm tồn tại (theo định nghĩa), là liên tục từng phần (đối với đa tạp tôpô) và không thể đảo ngược. Tùy thuộc vào bạn để tìm một hàm với các thuộc tính đó. $\varphi$
Đối số ở trên giả định rằng là một đa tạp trơn tru, ngụ ý rằng tồn tại một có thể phân biệt liên tục. Trong trường hợp của bạn, yếu tố bạn mô tả có thể không liên tục khác biệt. Nếu đó là sự thật, có lẽ bạn vẫn có thể phân vùng đa tạp của mình thành hai đa tạp trơn tru, và sau đó đối số ở trên vẫn giữ. Một lần nữa, bạn phải tìm thấy thỏa mãn các tính chất không thể đảo ngược và tính khác biệt liên tục. $\mathcal{M}$ $\varphi$ $\varphi$

— Geoff Oxberry
nguồn

Cảm ơn rất nhiều. Cuốn sách tôi đang đọc chỉ đề cập đến trường hợp ma trận Jacobi vuông (2 by 2) có liên quan để giữ cho mọi thứ đơn giản. Biểu thức trên nếu tôi hiểu đúng thì có thể sử dụng ma trận Jacobi có kích thước tùy ý (2 nhân 3). Thật không may, tôi vẫn nhận được

vào lúc này nhưng nó tốt hơn nhiều so với trước đây. Tôi sẽ tạo một luồng khác về sự lựa chọn đúng của chức năng ánh xạ. Cảm ơn một lần nữa.

det (D φ^{T} (x, y) D φ (x, y)) = 0

$\det(\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}(x,y)\mathrm{D}\varphi(x,y))=0$

— danny_23

D φ

$\mathrm{D}\varphi$

D φ^{T} D φ

$\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}\mathrm{D}\varphi$

Geoff, điều đó đúng. Tôi đặt một công thức chung đơn giản cộng với một ví dụ làm việc ra ở đây: theoretical-physics.net/dev/src/math/integration.html

— Ondřej Čertík