Ví dụ phương trình Helmholtz và Biharmonic với giải pháp chính xác

Tôi đang tìm kiếm các ví dụ về phương trình Helmholtz và Biharmonic trong tọa độ Cartesian với các giải pháp chính xác, để so sánh các giải pháp số của tôi với nó.

Tôi đã có thể tìm thấy khá nhiều ví dụ trên internet, nơi vấn đề với các điều kiện biên được xác định chính xác. Thật không may, đó chỉ là những ví dụ minh họa và giải pháp chính xác không được hiển thị.

Tôi đã được khuyến khích về việc sản xuất giải pháp (như trên math.stackexchange.com , và tôi đã làm điều đó thành công). Tôi sợ rằng trong trường hợp đó, một số ví dụ thú vị mà các chuyên gia trong PDE nhận thức được sẽ không được đối xử, giống như một số giải pháp được đưa ra bởi loạt vô hạn (mà tôi sẽ cắt bớt khi đạt đến mức độ chính xác nào đó). Ví dụ, bài viết trên Wikipeda về các BVP hình elip rất thú vị.

Bất kỳ ví dụ cụ thể, hoặc một liên kết hữu ích đến một trang web hoặc một bài báo đều được đánh giá cao.

Hãy tìm cuốn sách Rung động của những chiếc đĩa của Arthur Leissa. Nó có giải pháp rõ ràng cho các tấm vuông và tròn. Bao gồm các bảng có giá trị riêng xấp xỉ cho các điều kiện biên khác nhau.

$\phi=0$$\phi(x,y,z) = sin(k_x x)sin(k_y y)sin(k_z z)$$k_x/k_y/k_z$$k_x = n\pi/a$$k_y = m\pi/b$$k_z = p\pi/c$$div \, grad$$div\,grad \, \phi = k^2 \phi$$k_x,k_y,k_z$$k_x^2+k_y^2+k_z^2=k^2$

Đây là giá vé tiêu chuẩn cho phương trình sóng vectơ / phương trình maxwell (điện từ), tôi đã không nhầm lẫn nhiều với phương trình helmholtz vô hướng nhưng tôi hy vọng nó sẽ hoạt động tương tự. Đối với các bộ cộng hưởng điện từ / VWE, tôi muốn giới thiệu "Điện từ kỹ thuật nâng cao" của Balanis. Có lẽ có một tài liệu tham khảo có thể so sánh cho phương trình vô hướng Helmholtz (một văn bản âm học cấp độ sau đại học, có lẽ?) Nhưng tôi không biết nó là gì.

Tôi không có kinh nghiệm với phương trình Biharmonic.