Mô phỏng dây có thể mở rộng chính xác tùy ý

Tôi đang cố gắng mô phỏng một đối tượng dây thừng. Công thức tôi hiểu là một loạt các hạt, được kết nối bởi các lò xo. Những lò xo này có giá trị k rất lớn, do đó đường biến dạng, nhưng kéo dài rất ít. Tôi đã kết luận rằng việc giải quyết điều này như là một hàm của thời gian là không thể ở dạng đóng bởi vì một sợi dây là một khái quát của một con lắc (không phải là dạng đóng).

Giải quyết cho các giải pháp gần đúng, sau đó. Tôi cần một thuật toán có quy mô tốt. Các ví dụ tôi đã thấy sử dụng tích hợp Eulerian rõ ràng hoặc ẩn để di chuyển các hạt. Điều này không mở rộng.

Để thấy điều này, hãy xem xét một sợi dây có n nút. Áp dụng một lực lớn vào một đầu. Bởi vì dây không được kéo căng quá nhiều, gia tốc ở đầu kia phải ngay lập tức.

Tuy nhiên, với tích hợp Euler, để có được bất kỳ lực nào đến đầu kia đòi hỏi phải có n bước. Tôi nhận thấy một sự sụt giảm theo cấp số nhân: nếu nút đầu tiên tăng tốc một số lượng nhất định, thì các nút liền kề tăng tốc ít hơn (nếu chúng tăng tốc với cùng tốc độ, thì thuật toán không ổn định). Do đó, các nút kề rằng nút tăng tốc thậm chí chậm hơn!

Vì vậy, đối với n nút đi, gia tốc gần như không đáng kể. Điều này dẫn đến dây kéo dài đáng kể. Nếu bạn chỉ muốn tăng gấp đôi độ phân giải của mô phỏng, bạn đột nhiên cần thực hiện các bước thời gian nhỏ hơn hàng chục hoặc hàng trăm lần để có hành vi tương tự.

Tôi đang tìm kiếm một phương pháp đơn giản để giải quyết vấn đề này - tức là mô phỏng độ phân giải cao hơn hội tụ vào giải pháp chỉ với tính toán thêm thời gian đa thức. Một thư viện đầy đủ của các kỹ thuật đại số ma trận và tuyến tính có sẵn. Kiến thức của tôi về cơ học cổ điển là rất tốt, và tôi biết một số phân tích số.

Trước hết, như Jed Brown đã đề cập, bạn nên sử dụng sơ đồ bước thời gian ngầm vì vấn đề của bạn có vẻ khá khó khăn, hoặc ít nhất là một sơ đồ ổn định hơn, nhưng không kém phần đơn giản như tích hợp Leapfrog hoặc tích hợp Verlet .

Đối với vấn đề thể chất, bạn quan tâm đến việc kéo dài như thế nào? Thay vì kết nối các hạt với lò xo cứng, bạn có thể sử dụng các ràng buộc toàn diện , ví dụ: đảm bảo rằng khoảng cách giữa các cặp hạt không đổi. Các ràng buộc cần phải được giải quyết cho mỗi bước thời gian và tồn tại các thuật toán hiệu quả cho chính xác thiết lập của bạn, tức là một chuỗi các ràng buộc được liên kết dài. Xem, ví dụ, bài báo này .

Vì tò mò, bạn cũng đang sử dụng các tiềm năng góc cạnh dọc theo chiều dài của sợi dây để mô hình hóa tính linh hoạt của nó?

Bạn có một hệ thống cứng với công thức hiện tại. Sự kéo dài động và rung động trong chuỗi (có lẽ) không thú vị, nhưng chúng kiểm soát bước thời gian rõ ràng. Điều này cho thấy sử dụng một phương pháp tích hợp thời gian ngầm. Bạn có thể sử dụng giảm xóc để ngăn chặn các dao động sẽ có xu hướng làm rối loạn kiểm soát lỗi thích ứng cho phương pháp ngầm.

Nếu các dao động ở quy mô nhỏ rất quan trọng đối với mô hình mặc dù muốn bước qua chúng (ví dụ: đối với mô hình mỏi), thì bạn có thể muốn kiểm tra các phương pháp đa biến mới như Phương pháp đa biến không đồng nhất (Engquist, Tsai, v.v.) hoặc bán quang phổ trong phương pháp thời gian. Sử dụng các phương pháp như vậy là một chủ đề ở cấp độ nghiên cứu và bạn phải hiểu rõ vấn đề của mình và khả năng của phương pháp để quyết định xem nó có phù hợp hay không. Nếu bạn muốn bảo tồn năng lượng, ví dụ như các chế độ rung nhất định không nên tiêu tan, thì bạn nên xem xét các bộ tích hợp đối xứng như Verlet.

Bạn cũng có thể giải quyết giới hạn không giãn nếu bạn muốn. Với các thuật ngữ quán tính, mô hình có thể được điều chỉnh lại theo các góc độ, dẫn đến một hệ thống ODE không cứng. Như faleichik đã chỉ ra, đây là ROPEvấn đề thử nghiệm được xem xét trong cuốn sách của Hairer, Nørsett và Wanner. Nếu bạn loại bỏ quán tính của dây, nhưng cho phép chùng (dây nhẹ, căng thấp với tải rời rạc; không phải là mô hình chung), vấn đề sẽ trở thành bất đẳng thức khác biệt (DVI) và bạn thường không thể có được độ chính xác theo thứ tự đầu tiên trong thời gian.

Nếu bạn quan tâm đến một giải pháp nhanh, gần đúng, thì các phương pháp được sử dụng trong các hiệu ứng kỹ thuật số như hình học vi phân rời rạc có thể khiến bạn quan tâm. Tôi biết về một công thức quasistatic trong rời rạc đàn hồi , một bài báo năm 2008 từ nhóm của Grinsasta tại Đại học Columbia, nhưng có lẽ có nhiều tài liệu gần đây trong lĩnh vực này.

Chuyển động của dây treo là một vấn đề thử nghiệm được yêu thích của Hairer và Wanner xuất hiện trong tập thứ hai (cứng) của "Giải phương trình vi phân thông thường" và trong phiên bản thứ hai của tập thứ nhất (1993). Tôi đề nghị tùy chọn cuối cùng, trang 247. Các phương trình rất khó để rút ra và thuật toán của giải pháp số không đơn giản lắm. Mặc dù cuối cùng các bước thời gian rõ ràng thông thường như DOPRI, RK45 hoặc ODEX được áp dụng và hoạt động khá tốt, vì vậy vấn đề không thực sự nghiêm trọng.