Cách tích hợp chính xác trong mô phỏng thiên văn học là gì?

Tôi đang tạo ra một trình mô phỏng thiên văn đơn giản nên sử dụng vật lý Newton để mô phỏng chuyển động của các hành tinh trong một hệ thống (hoặc bất kỳ vật thể nào, cho vấn đề đó). Tất cả các cơ thể là các vòng tròn trong một mặt phẳng Euclide, có các tính chất như vị trí, vận tốc, khối lượng, bán kính và lực kết quả.

Tôi muốn cập nhật vũ trụ theo các bước thời gian nhỏ, thường là vài mili giây, nhưng tôi không chắc làm thế nào để tính toán chính xác các thay đổi ở vị trí.

Các lực lượng là đơn giản : fr = sum(G * body.m * bodyi.m / dist(body, bodyi)^2).

Nhưng làm thế nào để tôi đi từ đó?

Tôi có thể làm điều này:

a = Fr/body.m
v += a*dt
position += v*dt

Nhưng điều đó, tất nhiên, là sai. Có lẽ nếu tôi thêm 0,5 như là một yếu tố trong tính toán vị trí?

Về cơ bản, bạn đã có câu trả lời - không cần hệ số 0,5.

Về cơ bản, bạn có một hệ thống hai chiều của ODE bậc nhất:

$$\begin{align} \dot{x} & = v \\ \dot{v} & = \frac{F}{m}, \end{align}$$ $m$ $$\begin{align} \frac{x_{n+1}-x_n}{\Delta t} & = v_n \\ \frac{v_{n+1}-v_n}{\Delta t} & = \frac{F_n}{m}, \end{align}$$ $$\begin{align} x_{n+1} & = x_n + \Delta t \cdot v_n \\ v_{n+1} & = v_n + \Delta t \frac{F_n}{m}. \end{align}$$ $n$

$t_n$$t_{n+1}$$t_{n+1/2}$$x_0$$v_{1/2}$

$$\begin{align} x_{n+1} & = x_n + \Delta t \cdot v_{n+1/2} \\ v_{n+1/2} & = v_{n-1/2} + \Delta t \frac{F_n}{m} \end{align}$$

$v_{1/2}$$v_0$

$$\omega = \sqrt{\frac{GM}{r^3}},$$ $M$$r$