Nhiều phương pháp số cho PDE hyperbol dựa trên việc sử dụng bộ giải Riemann. Những người giải quyết như vậy rất cần thiết để bắt chính xác sóng xung kích. Có một loạt các bộ giải như vậy có sẵn cho các hệ thống được nghiên cứu kỹ lưỡng nhất (ví dụ: bộ giải chính xác, bộ giải Roe, bộ giải HLL). Làm thế nào tôi nên quyết định sử dụng?
Câu trả lời:
Đối với giải pháp số lượng PDE hyperbol, việc sử dụng bộ giải Riemann là các thành phần thiết yếu của phương pháp chụp sốc bảo toàn để mô phỏng chính xác các vấn đề sóng có thể bị sốc (nhảy không liên tục trong các biến được bảo toàn). Để có thể có được các giải pháp chính xác cho các vấn đề như vậy, chúng ta cần sử dụng các kỹ thuật nâng cao thích hợp - bộ giải Riemann chịu trách nhiệm cho việc này. Bộ giải Riemann tìm kiếm một giải pháp chính xác cho vấn đề giao diện giữa các ô (fx. Trong Tập hữu hạn) hoặc các phần tử (fx. Trong Phương thức phần tử hữu hạn Galerkin không liên tục). Giải pháp cho vấn đề giao diện này dựa trên giải pháp của một trong hai bên của giao diện và tìm cách sử dụng điều này làm cơ sở để tái cấu trúc chính xác thông lượng (số) (về các biến được bảo tồn) trên giao diện.
Có hai cách tiếp cận tiêu chuẩn cho giải pháp của các vấn đề Riemann (cục bộ đối với giao diện) đó là các bộ giải Riemann chính xác và gần đúng. Đối với nhiều PDE, không có giải pháp dạng đóng chính xác nào có sẵn trong trường hợp chúng ta phải sử dụng các bộ giải Riemann gần đúng. Trong thực tế, cũng có thể rất tốn kém để giải quyết chính xác các vấn đề Riemann trong trường hợp đó có thể thực tế hơn khi sử dụng các bộ giải Riemann gần đúng. Vì lý do tương tự, các loại từ thông Lax-Freidrichs được sử dụng rộng rãi như một phương tiện đơn giản.
Về cơ bản, sự lựa chọn giữa các bộ giải Riemann có liên quan đến việc một người tìm cách lấy chính xác tốc độ sóng của giải pháp và hiệu quả thu được như thế nào.
Đó là vấn đề phụ thuộc. Vấn đề Riemann dựa trên dữ liệu từ hai phía của giao diện di động. Để xây dựng lại thông lượng tại giao diện dựa trên dữ liệu này, chúng ta phải biết thông tin về cấu trúc sóng đầy đủ của PDE hyperbol trong câu hỏi. Điều này làm cho vấn đề Riemann phụ thuộc vào vấn đề và do đó cũng là sự lựa chọn của người giải Riemann. Tóm lại, các bộ giải chính xác tìm cách tính đến cấu trúc sóng đầy đủ, bộ giải Roe dựa trên phép tính gần đúng cục bộ (bằng cách tuyến tính hóa và lấy trung bình đặc biệt) của cấu trúc sóng cục bộ, bộ giải HLL dựa trên ước tính hai tốc độ sóng trội trong cục bộ cấu trúc sóng và sau đó áp đặt bảo tồn bằng cách thỏa mãn điều kiện Rankine-Hugoniot để giữ các cú sốc hoặc gián đoạn liên lạc.
Do đó, sự lựa chọn giữa các bộ giải cụ thể, bộ giải chính xác hoặc bộ giải Roe / HLL / etc gần đúng phụ thuộc vào việc cân bằng giữa độ chính xác (bắt chước vật lý cơ bản của phương trình mô hình) và nhu cầu hiệu quả. Cuối cùng - như tôi thấy - trong ứng dụng thực tế, thường là các yêu cầu về hiệu quả chỉ ra việc sử dụng các bộ giải Riemann gần đúng (fx. Của loại Lax-Friedrichs).
Một giải thích tốt cho chủ đề được đưa ra bởi EF Toro trong sách giáo khoa "Người giải Riemann và phương pháp số cho động lực học chất lỏng", Springer.
Tôi đã từng tin rằng đối với các số thứ tự thấp, người ta cần các bộ giải Riemann chất lượng cao và đối với các số thứ tự cao, người ta có thể sử dụng các bộ giải Riemann chất lượng thấp. Theo trực giác, có một số FLOP cần thiết để nắm bắt vật lý bên dưới mà một cái được hos.
Và, vâng, cũng không có nội dung nào trong câu trả lời này từ góc độ số liệu đánh giá ...