Khi nào nên sử dụng các phương pháp ngầm trong việc tích hợp các PDE hyperbol?

Các phương pháp số để giải quyết các PDE (hoặc ODE) thuộc hai loại chính: phương pháp rõ ràng và phương thức ngầm. Các phương thức ngầm định cho phép các dấu thời gian ổn định lớn hơn nhưng đòi hỏi nhiều công việc hơn trên mỗi bước. Đối với các PDE hyperbol, sự khôn ngoan phổ biến là các phương thức ngầm thường không được đền đáp vì việc sử dụng dấu thời gian lớn hơn các điều kiện CFL cho phép dẫn đến kết quả rất không chính xác. Tuy nhiên, phương pháp ngầm được sử dụng trong một số trường hợp. Đối với một ứng dụng nhất định, làm thế nào người ta nên chọn sử dụng một phương pháp rõ ràng hay ẩn?

Câu hỏi chính là các quá trình vật lý (sóng hoặc thuật ngữ nguồn) có thang đo thời gian mà bạn quan tâm để giải quyết và bạn muốn bước qua. Nếu bạn không quan tâm đến thang thời gian nhanh nhất trong hệ thống, thì các phương trình được gọi là "cứng". Luật bảo tồn Hyperbol thường được viết dưới dạng hệ thống bậc nhất

$$u_t + \nabla\cdot F(u) = G(u,\nabla u,...)$$

Trong đó chứa các biến được bảo toàn, F là từ thông và G được gọi là "thuật ngữ nguồn". Lưu ý rằng với thuật ngữ này, thông lượng F không chứa các dẫn xuất, do đó điều kiện khuếch tán và phân tán phải đi trong G . Nó là khá phổ biến để sử dụng tích hợp ngầm hoặc bán ẩn khi các điều khoản nguồn cứng, như với nhiều vấn đề phản ứng hóa học và khi có sự khuếch tán hoặc phân tán. Phản ứng hóa học thường có thể được giải quyết ngầm cục bộ trong mỗi nguyên tố vì nó không được ghép với các tế bào lân cận.$u$$F$$G$$F$$G$

$A = [\partial F/\partial u]$

Ví dụ, nếu bạn đang mô phỏng sự tiến hóa trong thời gian dài của một đại dương, bạn có thể không quan tâm đến sóng trọng lực bề mặt (ví dụ sóng thần). Thật không may, việc thay đổi tốc độ sóng (làm chậm nó để sử dụng các phương pháp rõ ràng hoặc tăng tốc độ lên mô hình "nắp cứng" có thể sử dụng phép chiếu) thay đổi vật lý bằng cách thay đổi cách truyền xoáy. Các xoáy trong đại dương là một hiệu ứng trong đó sóng trọng lực gần như cân bằng với sự đối lưu, nhưng không hoàn toàn.

Một ví dụ khác là Euler có thể nén, ví dụ luồng khí qua trung tâm dữ liệu. Tốc độ sóng âm nhanh hơn nhiều so với đối lưu và chỉ có điều sau là quan trọng để truyền nhiệt. Nếu bạn không quan tâm đến âm học, bạn có thể muốn sử dụng một phương pháp ngầm.

Hiệu quả tương đối của một phương pháp ngầm phụ thuộc vào chi phí để giải quyết các hệ thống đại số ở mỗi bước / giai đoạn so với kích thước bước có thể được sử dụng với các phương pháp rõ ràng. Giải quyết các hệ thống đại số như vậy một cách hiệu quả là một chủ đề nghiên cứu tích cực. (Đặt một câu hỏi khác và tôi sẽ trả lời nó và tham khảo từ đây.)

Bạn cũng có thể muốn sử dụng các phương thức ngầm nếu:

• phương trình của bạn có trạng thái ổn định có ý nghĩa mà bạn muốn khám phá trực tiếp, có lẽ với đặc trưng của sự ổn định
• bạn đang giải quyết các vấn đề đồng hóa dữ liệu / nghịch đảo liên quan đến lịch sử thời gian dài
• bạn muốn phá vỡ các rào cản trật tự để sử dụng các phương thức tích hợp thời gian đặt hàng rất cao với các thuộc tính ổn định nhất định
• bạn đang sử dụng các phương pháp thích ứng không-thời gian
• bạn đang sử dụng một sự rời rạc không gian đã yêu cầu giải một hệ thống đại số (ví dụ: các phương pháp phần tử hữu hạn liên tục với ma trận khối lượng nhất quán)