Những phương pháp tích hợp thời gian nào chúng ta nên sử dụng cho các PDE hyperbol?

Nếu chúng tôi sử dụng Phương pháp đường thẳng để phân biệt (phân tách thời gian và không gian riêng biệt) của các PDE hyperbol mà chúng tôi có được sau khi phân tách không gian bằng phương pháp số yêu thích của chúng tôi (fx. Phương pháp khối lượng hữu hạn) thì vấn đề trong giải pháp ODE mà chúng tôi sử dụng cho việc giải quyết tạm thời (TVD / SSP / vv)?

Một số thông tin bổ sung được thêm vào: Vấn đề chính xác có thể là một vấn đề đối với các vấn đề không trơn tru. Người ta sẽ biết rằng các PDE hyperbol không tuyến tính có thể phát triển các cú sốc trong thời gian hữu hạn mặc dù giải pháp ban đầu là trơn tru trong trường hợp độ chính xác có thể giảm xuống theo thứ tự đầu tiên cho các phương pháp bậc cao.

Phân tích ổn định ODE thường được thực hiện dựa trên tuyến tính hóa để có được hệ thống ODE bán riêng tuyến tính có dạng q_t = J q (với vectơ nhiễu loạn qa), trong đó các giá trị riêng của J phải được thu nhỏ bên trong vùng ổn định tuyệt đối của thời gian đã chọn- phương pháp bước. Các chiến lược thay thế là sử dụng pseudospectra hoặc có thể là một phương pháp năng lượng để phân tích sự ổn định.

Tôi hiểu rằng động lực cho các phương pháp TVD / SSP là để tránh các dao động giả gây ra bởi các phương pháp bước thời gian có thể dẫn đến hành vi phi vật lý. Câu hỏi là nếu kinh nghiệm cho thấy các loại phương pháp bước thời gian này là vượt trội so với, ví dụ, một con ngựa làm việc cổ điển như Phương pháp Runge-Kutta rõ ràng hoặc các phương pháp khác. Rõ ràng, họ nên có các thuộc tính tốt hơn cho các lớp vấn đề trong đó giải pháp có thể thể hiện các cú sốc. Do đó, người ta có thể lập luận rằng chúng ta chỉ nên sử dụng các loại phương pháp này để tích hợp thời gian.

Tôi không biết nếu bạn vẫn quan tâm đến câu trả lời, nhưng dù sao thì tôi cũng đi đây:

Bạn đã nói rằng bạn biết về sự hình thành sốc trong các phương trình phi tuyến. Đó là chính xác lý do tại sao bạn phải chọn tích hợp thời gian của bạn một cách cẩn thận. Không có ích gì khi áp dụng phân biệt không gian TVD khi không phân biệt thời gian - bạn sẽ thấy các dao động tương tự mà bạn có thể đã thấy với thông lượng số bậc cao hơn.

Những gì nó sôi sùng sục là Euler phía trước hoạt động. Bạn đã đề cập đến SSP (bảo tồn ổn định mạnh mẽ) trong câu hỏi của bạn. Đây là một lớp đặc biệt của các phương pháp Runge-Kutta sử dụng điều đó. Về cơ bản, bạn phải chọn các hệ số của phương thức theo cách mà nó có thể được viết dưới dạng kết hợp lồi của các bước Euler. Bằng cách đó, các thuộc tính như TVD và như vậy sẽ được bảo tồn.

Có một cuốn sách rất hay về các phương pháp SSP của Gottlieb, Ketcheson và Shu có tên là "Sự ổn định mạnh mẽ bảo tồn Runge-Kutta và Multistep Time Discretifying" liên kết amazon

Vâng, nó quan trọng. Hai điều thông thường cần quan tâm:

1. Sự chính xác. Một số lược đồ ODE chính xác hơn các lược đồ khác, thứ tự cao hơn, v.v. Nguyên tắc chung là chọn một phương pháp có thứ tự chính xác tương tự như sự phân biệt không gian của bạn.

2. Ổn định. Đối với các vấn đề hyperbol, bạn mong muốn toán tử có các giá trị riêng tưởng tượng thuần túy, vì vậy bạn muốn một bộ giải ODE bao gồm một phần của quyền truy cập tưởng tượng trong miền ổn định của nó. Xem ví dụ Phụ lục G trong Fornberg, Hướng dẫn thực hành về Phương pháp giả hành.

Với các phương trình hyperbol, một số người muốn đảm bảo rằng các giải pháp của họ luôn tích cực, do đó, có nhiều loại bộ lọc và thủ thuật để đảm bảo điều này. Nhưng tôi biết hầu như không có gì về điều này.

Tôi ở xa một chuyên gia, nhưng tôi nghĩ tôi sẽ cố gắng trả lời vì câu hỏi đã ở đây được một thời gian.