Tại sao bảo tồn địa phương quan trọng khi giải quyết PDEs?

30

Các kỹ sư thường nhấn mạnh vào việc sử dụng các phương pháp bảo thủ cục bộ như khối lượng hữu hạn, chênh lệch hữu hạn bảo thủ hoặc các phương pháp Galerkin không liên tục để giải quyết các PDE.

Điều gì có thể sai khi sử dụng một phương pháp không bảo thủ cục bộ?

Được rồi, vì vậy bảo tồn cục bộ rất quan trọng đối với các PDE hyperbol, còn các PDE elip thì sao?

pde hyperbolic-pde fluid-dynamics

— Jed Brown
nguồn

30

Trong giải pháp của PDE hyperbolic phi tuyến, sự không liên tục ("cú sốc") xuất hiện ngay cả khi điều kiện ban đầu trơn tru. Trong sự hiện diện của sự không liên tục, khái niệm giải pháp chỉ có thể được định nghĩa theo nghĩa yếu. Vận tốc số của một cú sốc phụ thuộc vào các điều kiện Rankine-Hugoniot chính xác được áp đặt, do đó phụ thuộc vào việc thỏa mãn số lượng theo luật bảo tồn tích phân cục bộ. Các Lax-Wendroff lý đảm bảo rằng một phương pháp số hội tụ sẽ hội tụ về một giải pháp yếu của định luật bảo toàn hyperbol chỉ khi phương pháp này là bảo thủ.

Bạn không chỉ cần sử dụng một phương pháp bảo thủ, trên thực tế bạn cần sử dụng một phương pháp bảo tồn đúng số lượng. Có một ví dụ hay giải thích điều này trong "Phương pháp khối lượng hữu hạn cho các vấn đề Hyperbol" của LeVeque, Phần 11.12 và Mục 12.9. Nếu bạn rời rạc phương trình của Burgers

u_{t} + 1 / 2 (u^{2})_{x} = 0

$u_t + 1/2 (u^2)_x = 0$

thông qua sự rời rạc nhất quán

U_{i}^{n + 1} = U_{i}^{n} - \frac{Δ t}{Δ x} U_{i}^{n} (U_{i}^{n} - U_{i - 1}^{n})

$U^{n+1}_i = U^n_i - \frac{\Delta t}{\Delta x} U^n_i (U^n_i-U^n_{i-1})$

bạn sẽ quan sát thấy các cú sốc di chuyển ở tốc độ sai, bất kể bạn tinh chỉnh lưới bao nhiêu. Đó là, giải pháp số sẽ không hội tụ đến giải pháp thực sự . Thay vào đó, nếu bạn sử dụng sự rời rạc bảo thủ

U_{i}^{n + 1} = U_{i}^{n} - \frac{Δ t}{2 Δ x} ((U_{i}^{n})^{2} - (U_{i - 1}^{n})^{2})

$U^{n+1}_i = U^n_i - \frac{\Delta t}{2\Delta x} ( (U^n_i)^2-(U^n_{i-1})^2)$

dựa trên sự khác biệt từ thông, các cú sốc sẽ di chuyển với tốc độ chính xác (là trung bình của các trạng thái ở bên trái và bên phải của cú sốc đối với phương trình này). Ví dụ này được minh họa trong sổ ghi chép IPython này tôi đã viết .

Đối với các PDE hyperbol tuyến tính và đối với các loại PDE khác thường có các giải pháp trơn tru, bảo tồn cục bộ không phải là thành phần cần thiết để hội tụ. Tuy nhiên, nó có thể quan trọng vì các lý do khác (ví dụ: nếu tổng khối lượng là một số tiền lãi).

— David Ketcheson
nguồn

6

Tôi nghĩ rằng một câu trả lời cho câu hỏi của bạn là một số cộng đồng nhất định luôn luôn sử dụng các kế hoạch bảo thủ và vì vậy nó đã trở thành một phần của "cách thức thực hiện". Người ta có thể tranh luận liệu đó có phải là cách tốt nhất để làm điều đó hay không, nhưng điều đó có hiệu quả như việc yêu cầu người Anh lái xe bên phải bởi vì đơn giản là sẽ thuận tiện hơn khi chỉ ở bên tiêu chuẩn.

u + K \nabla p = 0 \nabla \cdot u = f \partial_{t} S + u \cdot \nabla S = q .

$u + K \nabla p = 0 \\ \nabla \cdot u = f \\ \partial_t S + u \cdot \nabla S = q.$

h \to 0

$h\rightarrow 0$ , nhưng sự khăng khăng đảm bảo rằng tài sản này giữ được ngay cả đối với kích thước mắt lưới hữu hạn cũng có ý nghĩa gì đó.

— Wolfgang Bangerth
nguồn

3

Nhiều lần, các phương trình được giải quyết đại diện cho một định luật bảo tồn vật lý. Ví dụ, các phương trình Euler cho động lực học chất lỏng là các biểu diễn bảo toàn khối lượng, động lượng và năng lượng. Cho rằng thực tế cơ bản mà chúng ta đang mô hình hóa là bảo thủ, nên chọn phương pháp cũng bảo thủ là thuận lợi

Bạn cũng có thể thấy một cái gì đó tương tự với các trường điện từ. Định luật Maxwell bao gồm điều kiện không phân kỳ cho từ trường, nhưng phương trình đó không phải lúc nào cũng được sử dụng cho sự tiến hóa của các trường. Một phương pháp bảo tồn điều kiện này (ví dụ: vận chuyển bị hạn chế) giúp phù hợp với vật lý của thực tế.

Chỉnh sửa: @hardmath chỉ ra rằng tôi đã quên giải quyết phần "điều gì có thể sai" của câu hỏi (Cảm ơn!). Câu hỏi đặc biệt đề cập đến các kỹ sư, nhưng tôi sẽ cung cấp một vài ví dụ từ lĩnh vực của riêng tôi (vật lý thiên văn) và hy vọng rằng chúng giúp minh họa các ý tưởng đủ để khái quát hóa những gì có thể sai trong ứng dụng kỹ thuật.

(1) Khi mô phỏng siêu tân tinh, bạn có động lực học chất lỏng liên kết với mạng phản ứng hạt nhân (và vật lý khác, nhưng chúng ta sẽ bỏ qua điều đó). Nhiều phản ứng hạt nhân phụ thuộc mạnh mẽ vào nhiệt độ, mà (với xấp xỉ bậc một) là một số đo năng lượng. Nếu bạn không bảo tồn năng lượng, nhiệt độ của bạn sẽ quá cao (trong trường hợp các phản ứng của bạn chạy quá nhanh và bạn đưa ra nhiều năng lượng hơn và bạn sẽ có một cuộc chạy trốn không nên tồn tại) hoặc quá thấp (trong trường hợp đó là phản ứng của bạn chạy quá chậm và bạn không thể cung cấp năng lượng cho siêu tân tinh).

(2) Khi mô phỏng các sao nhị phân, bạn cần làm lại phương trình động lượng để bảo toàn động lượng góc. Nếu bạn không bảo toàn động lượng góc, thì các ngôi sao của bạn không thể quay quanh nhau một cách chính xác. Nếu chúng có thêm động lượng góc, chúng tách ra và ngừng tương tác chính xác. Nếu mất động lượng góc, chúng đâm vào nhau. Các vấn đề tương tự xảy ra khi mô phỏng các đĩa sao. Bảo toàn động lượng (tuyến tính) là mong muốn, bởi vì các định luật vật lý bảo toàn động lượng tuyến tính, nhưng đôi khi bạn phải từ bỏ động lượng tuyến tính và bảo toàn động lượng góc vì điều đó quan trọng hơn đối với vấn đề trong tay.

Tôi phải thừa nhận, mặc dù trích dẫn điều kiện không có sự phân kỳ của từ trường, tôi không hiểu biết ở đó. Việc không duy trì điều kiện không phân kỳ có thể tạo ra các đơn cực từ (hiện tại chúng tôi không có bằng chứng nào), nhưng tôi không có bất kỳ ví dụ hay nào về các vấn đề có thể gây ra trong một mô phỏng.

— Brendan
nguồn

Các phương thức không áp đặt rõ ràng điều kiện không phân kỳ (ví dụ: đối với các chức năng dùng thử của phương pháp Galerkin) dường như là một minh họa tốt cho những gì Câu hỏi yêu cầu, nhưng sẽ là một cải tiến để thảo luận về "mũ có thể đi sai "trong một thiết lập như vậy. Tôi biết đã có những bài viết về nó trong bối cảnh Navier-Stokes không thể giải thích được.

— hardmath

Cảm ơn, @hardmath, vì đã chỉ ra rằng tôi đã không giải quyết khía cạnh "điều gì có thể sai" của câu hỏi. Tôi không sử dụng Navier-Stokes không thể nén, nhưng tôi đã cung cấp một số ví dụ mà tôi quen thuộc. Mặc dù vậy, tôi không có nhiều kiến thức về bảo tồn trong các PDE hình elip, vì vậy tôi vẫn bỏ qua nó.

— Brendan

1

Hôm nay tôi bắt gặp một luận án Đề án EMAC cho Mô phỏng Navier-Stokes và Ứng dụng để lưu chuyển các cơ quan trong quá khứ và chú ý Phần 1.2 của câu trả lời cho câu hỏi của OP, ít nhất là một phần. Các phần có liên quan là:

Người ta tin tưởng rộng rãi vào cộng đồng động lực học chất lỏng tính toán ( CFD ) rằng vật lý càng được tích hợp vào sự rời rạc, các giải pháp rời rạc càng chính xác và ổn định, đặc biệt là trong khoảng thời gian dài hơn. N. Phillips vào năm 1959 [42] đã xây dựng một ví dụ cho phương trình xoáy không tuyến tính (sử dụng sơ đồ sai phân hữu hạn), trong đó việc tích hợp các thuật ngữ đối lưu trong thời gian dài dẫn đến thất bại trong mô phỏng số cho bất kỳ bước thời gian nào. Trong [4] Arakawa đã chỉ ra rằng người ta có thể tránh được các vấn đề không ổn định với sự tích hợp trong thời gian dài nếu động năng và sự kích thích (ở dạng 2D) được bảo toàn bằng sơ đồ rời rạc. Sầu. Năm 2004, Liu và Wang đã phát triển bảo tồn tính tự lực và năng lượng cho dòng chảy ba chiều. Trong [35] , họ trình bày sơ đồ bảo toàn năng lượng và khả năng tự động cho các dòng chảy đối xứng. Họ cũng chỉ ra rằng sơ đồ bảo tồn kép của họ loại bỏ sự cần thiết của độ nhớt số phi vật lý lớn. Giáo dục

Càng được biết đến trong nhiều thập kỷ ở CFD, rằng số lượng vật lý càng được bảo toàn bởi sơ đồ phần tử hữu hạn, dự đoán càng chính xác, đặc biệt là trong khoảng thời gian dài. Do đó, các giải pháp được cung cấp bởi một sơ đồ chính xác hơn cũng phù hợp hơn về mặt vật lý. Nếu người ta có thể đủ khả năng cho một lưới được giải quyết hoàn toàn và bước thời gian nhỏ vô hạn, tất cả các sơ đồ phần tử hữu hạn thường được sử dụng được cho là cung cấp các giải pháp số giống nhau. Tuy nhiên, trong thực tế, người ta không thể có một lưới được giải quyết hoàn toàn trong mô phỏng 3D, đặc biệt là đối với các vấn đề phụ thuộc vào thời gian. Ví dụ, trong chương 2, chúng ta cần 50-60 nghìn bước thời gian, trong đó mỗi bước thời gian yêu cầu giải một hệ thống tuyến tính thưa thớt với 4 triệu ẩn số. Điều này đòi hỏi 2-3 tuần thời gian tính toán với mã song song cao trên 5 nút với 24 lõi mỗi nút.

— xzczd
nguồn