Những gì phân biệt không gian làm việc cho dòng chảy không thể nén với các lưới biên bất đẳng hướng?

Dòng chảy số Reynold cao tạo ra các lớp ranh giới rất mỏng. Nếu độ phân giải tường được sử dụng trong Mô phỏng xoáy lớn, tỷ lệ khung hình có thể theo thứ tự $10^6$ . Nhiều phương pháp trở nên không ổn định trong chế độ này vì hằng số inf-sup xuống cấp là căn bậc hai của tỷ lệ khung hình hoặc tệ hơn. Hằng số inf-sup rất quan trọng vì nó ảnh hưởng đến số điều kiện của hệ tuyến tính và các thuộc tính gần đúng của giải pháp rời rạc. Cụ thể, các giới hạn sau đây về lỗi giữ riêng biệt (Brezzi và Fortin 1991)

$$\begin{split} \mu \lVert {\mathbf u} - \mathbf u_h \rVert_{H^1} \le C \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf u - \mathbf v}\rVert_{H^1} + \inf_{q \in \mathcal Q} \lVert p-q \rVert_{L^2} \right] \\ \lVert{p - p_h}\rVert_{L^2} \le \frac{C}{\beta} \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf u - \mathbf v}\rVert_{H^1} + \inf_{q\in \mathcal Q} \lVert{p-q}\rVert_{L^2} \right] \end{split}$$

Trong đó $\mu$ là độ nhớt động lực và $\beta$ là hằng số inf-sup. Từ đó, chúng ta thấy rằng khi $\beta \to 0$ , các xấp xỉ vận tốc và (đặc biệt) trở nên tồi tệ hơn mức tốt nhất có sẵn trong không gian phần tử hữu hạn (tức là hằng số tối ưu của Galerkin tăng lên khi $\beta^{-1}$ và $\beta^{-2}$ tương ứng).

Những phương pháp nào có độ ổn định inf-sup thống nhất độc lập với tỷ lệ khung hình?

Cái nào trong số này có thể được sử dụng với các mắt lưới không có cấu trúc?

Làm thế nào để các ước tính tổng quát đến xấp xỉ bậc cao?

Các sơ đồ sai phân hữu hạn MAC (Harlow và Welch năm 1965) ổn định đồng đều, nhưng yêu cầu các lưới có cấu trúc trơn tru và chỉ chính xác thứ hai.

Các phương pháp phần tử hữu hạn được ưa thích cho các phương pháp bậc cao và không có cấu trúc. Đối với các phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin liên tục, không có không gian đã biết nào có các thuộc tính gần đúng tối ưu và ổn định đồng đều.

• $Q_k-P_{k-1}^{\mathrm{disc}}$ có các thuộc tính gần đúng tối ưu và bảo thủ cục bộ, nhưng hằng số inf-sup làm suy giảm căn bậc hai của tỷ lệ khung hình. Xem Bernardi & Maday 1999 để biết chi tiết.

• $Q_k-Q_{k-2}^{\mathrm{disc}}$ có hằng số inf-sup độc lập với tỷ lệ khung hình và được bảo thủ cục bộ, nhưng hằng số inf-sup quy mô như khi thứ tự đa thức được tăng lên (Maday et al. 1992) trên các mắt lưới hình dạng thông thường. Trên các mắt lưới có các nút treo hoặc góc reentrant, ràng buộc này là sắc nét ở dạng 2D (Schoetzau et al 1998), nhưng tiếp tục xuống cấp thành trong 3D (Toselli & Schwab 2003).$\mathcal{O}\left(k^{\frac{1-d}{2}}\right)$$k^{-3/2}$

• Phần tử không phù hợp P_0 được xoay từ Rannacher & Turek 1994 ổn định đồng đều, có các tính chất gần đúng tối ưu và bảo thủ cục bộ, nhưng nó không thỏa mãn bất đẳng thức Korn rời rạc, do đó, nó cần điều chỉnh biên cho một số điều kiện biên dòng chảy nhớt thay đổi. Công việc tiếp theo của các tác giả đã có sau để ổn định các phương pháp này bằng cách sử dụng thông lượng cạnh, nhưng kết quả là sự rời rạc làm mất đi nhiều đặc tính hiệu quả hấp dẫn.$Q_1-P_0$

• Ainsworth và Coggins 2000 xây dựng các không gian kỹ thuật cao có phần tốt hơn, nhưng dường như là tiện ích hạn chế.

Đối với Galerkin không liên tục, hình ảnh có phần tốt hơn:

• Không gian không liên tục ổn định đồng đều và có các thuộc tính gần đúng tối ưu (Schoetzau, Schwab và Toselli 2004). Sự kết hợp này không có sẵn với không gian vận tốc liên tục. Hằng số inf-sup vẫn phụ thuộc vào mức độ đa thức, tuy nhiên, tỷ lệ là .$Q_k-Q_{k-1}$$k^{-3/2}$