Những phương pháp nào có thể đảm bảo rằng các đại lượng vật lý vẫn dương trong suốt quá trình mô phỏng PDE?

Các đại lượng vật lý như áp suất, mật độ, năng lượng, nhiệt độ và nồng độ phải luôn dương, nhưng phương pháp số đôi khi tính toán các giá trị âm trong quá trình giải. Điều này không ổn vì các phương trình sẽ tính toán các giá trị phức tạp hoặc vô hạn (thường làm hỏng mã). Những phương pháp số nào có thể được sử dụng để đảm bảo rằng các đại lượng này vẫn dương? Phương pháp nào trong số này là hiệu quả nhất?

Phương pháp phổ biến nhất là đặt lại các giá trị âm thành một số nhỏ, dương. Tất nhiên, đây không phải là một giải pháp toán học. Một cách tiếp cận chung tốt hơn có thể hiệu quả và dễ dàng, là giảm kích thước của bước thời gian của bạn.

Các giá trị âm thường phát sinh trong giải pháp của các PDE hyperbol, bởi vì sự xuất hiện của các cú sốc có thể dẫn đến dao động, sẽ có xu hướng tạo ra các giá trị âm nếu có các trạng thái gần chân không gần sốc. Sử dụng phương pháp giảm tổng biến thể (TVD) hoặc phương pháp không dao động ( ENO, WENO ) khác có thể làm giảm xu hướng này. Những phương pháp này dựa trên việc sử dụng các bộ giới hạn phi tuyến để tính toán các dẫn xuất của giải pháp. Tuy nhiên, bạn vẫn có thể nhận được các giá trị âm vì một số lý do:

• Nếu bạn sử dụng phương pháp đường và áp dụng tích hợp thời gian theo thứ tự cao. Hầu hết các chương trình TVD chỉ có thể chứng minh TVD theo nghĩa bán rời hoặc theo phương pháp của Euler. Để tích hợp thời gian theo thứ tự cao hơn, bạn nên sử dụng sự phân rã thời gian bảo toàn ổn định (SSP) ; những kế hoạch này còn được gọi là "bảo tồn hợp đồng" hoặc "bảo tồn tính đơn điệu". Có một cuốn sách gần đây về chủ đề của Sigal Gottlieb, Chi-Wang Shu và tôi.
• Nếu bạn không sử dụng phân rã đặc tính cục bộ cho các hệ phương trình, giải pháp của bạn sẽ không phải là TVD (các sơ đồ TVD chỉ sở hữu thuộc tính đó cho các vấn đề vô hướng). Vì vậy, tốt nhất là tái cấu trúc / nội suy trong các biến đặc trưng.
• Nếu bạn có một hệ phi tuyến, các giá trị âm có thể phát sinh ngay cả khi bạn sử dụng phân tách đặc tính cục bộ. Ví dụ, bất kỳ bộ giải Riemann được tuyến tính hóa (như bộ giải Roe) cho các phương trình nước nông hoặc phương trình Euler đều có thể được hiển thị để tạo ra các giá trị âm trong điều kiện đủ thách thức. Một giải pháp là sử dụng bộ giải HLL (hoặc một biến thể của HLL); một số trong số đó là tích cực.
• Đề án TVD chỉ là thứ hai; các sơ đồ không dao động bậc cao hơn như WENO không hoàn toàn thỏa mãn các nguyên tắc tối đa của TVD hoặc tối đa. Nhưng một sửa đổi mới của các chương trình cấp cao đó; nó được phát triển trong một số bài báo gần đây của Xiangxiong Zhang (một học sinh của Chi-Wang Shu).

Tất nhiên, có nhiều cách tiếp cận chuyên biệt khác cho các phương trình cụ thể, chẳng hạn như trong mã GeoClaw của David George, sử dụng bộ giải Riemann với các sóng phi vật lý bổ sung để thực thi tính tích cực.

Giả sử chúng ta đang giải các phương trình hyperbol mà không có bất kỳ thuật ngữ nguồn nào và giả sử chúng ta cung cấp các điều kiện ban đầu vật lý, đảm bảo rằng sơ đồ số mà chúng ta sử dụng là Tổng biến thiên là một cách tốt để đảm bảo "tính vật lý" của giải pháp được tính toán. Vì sơ đồ TVD duy trì tính đơn điệu, sẽ không tạo ra cực tiểu hoặc cực đại mới và giải pháp sẽ vẫn bị giới hạn bởi các giá trị ban đầu mà chúng tôi hy vọng đặt chính xác. Tất nhiên vấn đề là các chương trình TVD không phải là kế hoạch rõ ràng nhất. Trong số các sơ đồ tuyến tính, chỉ có các sơ đồ đặt hàng đầu tiên là TVD (Godunov 1954). Vì vậy, kể từ những năm 50, một loạt các sơ đồ TVD phi tuyến tính đã được phát triển để kết hợp độ chính xác cao và tính đơn điệu cho giải pháp phương trình hyperbol.

Đối với các ứng dụng của tôi, giải các phương trình Navier-Stokes với độ dốc áp suất / mật độ lớn, chúng tôi sử dụng sơ đồ trung tâm MUSCL để thu được độ dốc / gián đoạn lớn và giữ độ chính xác tốt từ chúng. Lược đồ MUSCL đầu tiên (MUSCL là viết tắt của Monotone ngược dòng tập trung vào Luật bảo tồn) đã được Van Leer nghĩ ra vào năm 1979.

Nếu bạn muốn biết thêm về chủ đề này, xin vui lòng tham khảo các tác phẩm của Harten, Van Leer, Lax, Sod và Toro.

Các câu trả lời trên áp dụng cho các vấn đề phụ thuộc thời gian, nhưng bạn cũng có thể yêu cầu tính tích cực trong một phương trình elip đơn giản. Trong trường hợp này, bạn có thể xây dựng nó như một bất đẳng thức đa dạng , đưa ra giới hạn cho các biến.

Trong PETSc, có hai bộ giải VI. Người ta sử dụng một phương thức không gian rút gọn, trong đó các biến trong các ràng buộc hoạt động được loại bỏ khỏi hệ thống để giải quyết. Cái kia sử dụng phương pháp Newton nửa mịn .

$A$

$$Au = b$$ $A$$A^{-1}$

$B\in\mathbb{R}^{n \times n}$$B\geq0$$B$

$$(B\geq 0) \qquad\Leftrightarrow\qquad (u\leq v ~\Rightarrow~ Bu\leq Bv, ~~\forall u,v \in \mathbb{R}^n )$$

$A$

$$0 \leq b ~\Rightarrow~ 0=A^{-1}0 \leq A^{-1}b = u$$ $b$$b\geq 0$

Thông thường, các sơ đồ rời rạc dẫn đến ma trận M được gọi là các sơ đồ đơn điệu và đây là các sơ đồ này, bảo tồn tính không phủ định.