Làm thế nào tôi có thể phân biệt số lượng một chức năng lấy mẫu không đồng đều?

Các công thức sai phân hữu hạn tiêu chuẩn có thể sử dụng để tính toán một đạo hàm theo kỳ vọng rằng bạn có các giá trị hàm tại các điểm cách đều nhau, do đó là một hằng số. Điều gì sẽ xảy ra nếu tôi có các điểm cách đều nhau, do đó đây thay đổi từ một cặp điểm liền kề sang điểm tiếp theo? Rõ ràng tôi vẫn có thể tính đạo hàm đầu tiên là , nhưng có các công thức phân biệt số theo thứ tự cao hơn và độ chính xác có thể thích ứng với sự thay đổi trong kích thước lưới?h ≡ x k + 1 - x k h f ′ ( x ) ≈ $f(x_k)$$h \equiv x_{k+1} - x_k$$h$$f'(x) \approx \frac{1}{h_k}[f(x_{k+1}) - f(x_k)]$

Nhận xét của JM là đúng: bạn có thể tìm thấy một đa thức nội suy và phân biệt nó. Có nhiều cách khác để rút ra các công thức như vậy; thông thường, tất cả đều dẫn đến việc giải một hệ thống van der Monde cho các hệ số. Cách tiếp cận này có vấn đề khi stprint khác biệt hữu hạn bao gồm một số lượng lớn các điểm, bởi vì ma trận Vandermonde trở nên không điều hòa. Một cách tiếp cận ổn định hơn về mặt số đã được Fornberg nghĩ ra , và được giải thích rõ ràng hơn và nói chung trong bài báo thứ hai của ông.

Dưới đây là tập lệnh MATLAB đơn giản thực hiện phương pháp của Fornberg để tính các hệ số của xấp xỉ sai phân hữu hạn cho bất kỳ đạo hàm bậc nào với bất kỳ tập hợp điểm nào. Để có một lời giải thích hay, hãy xem Chương 1 của văn bản của LeVeque về các phương pháp khác biệt hữu hạn .

Thêm một chút về công thức FD: Giả sử bạn có lưới 1D. Nếu bạn sử dụng toàn bộ tập hợp các điểm lưới để xác định một tập hợp các công thức FD, phương thức kết quả tương đương với việc tìm một đa thức nội suy qua toàn bộ lưới và phân biệt điều đó. Cách tiếp cận này được gọi là sắp xếp phổ. Ngoài ra, đối với mỗi điểm lưới, bạn có thể xác định công thức FD chỉ bằng một vài điểm lân cận. Đây là những gì được thực hiện trong các phương pháp khác biệt hữu hạn truyền thống.

Như đã đề cập trong các ý kiến ​​dưới đây, sử dụng sự khác biệt hữu hạn của thứ tự rất cao có thể dẫn đến dao động (hiện tượng Runge) nếu các điểm không được chọn cẩn thận.

http://mathformeremortals.wordpress.com/2013/01/12/a-numerical-second-derivative-from-three-point/

Điều này giải quyết câu hỏi của bạn và hiển thị công thức bạn đang tìm kiếm, cho đạo hàm thứ hai. Các dẫn xuất bậc cao theo cùng một mô hình.

Các câu trả lời ở trên rất tốt về mặt cung cấp cho bạn một mã để sử dụng, nhưng về mặt lý thuyết thì không tốt bằng. Nếu bạn muốn tìm hiểu sâu hơn về đa thức nội suy, hãy xem cách xử lý lý thuyết này với một vài ví dụ cụ thể:

Singh, Ashok K. và BS Bhadauria. "Các công thức sai phân hữu hạn cho các khoảng phụ không bằng nhau sử dụng công thức nội suy của độ trễ." Tạp chí quốc tế về toán học và phân tích 3.17 (2009): 815-827. ( Liên kết đến PDF )

Các tác giả sử dụng Nội suy Lagrangian (xem bài viết Wikipedia ) để tính toán các đa thức nội suy 3 điểm, 4 điểm và 5 điểm, cũng như các đạo hàm thứ nhất, thứ hai và thứ ba của chúng. Chúng cũng có các biểu thức cho lỗi cắt ngắn, điều này rất quan trọng để xem xét khi sử dụng bất kỳ sơ đồ sai phân hữu hạn nào. Họ cũng có công thức chung để tính đa thức nội suy bằng N điểm.

Đa thức nội suy Lagrangian rất hữu ích vì chúng và các dẫn xuất của chúng có thể rất chính xác trong miền bạn đang nội suy và chúng không giả định khoảng cách lưới chẵn. Do tính chất của đa thức nội suy Lagrangian, bạn không bao giờ có thể có nhiều đơn hàng phái sinh hơn bạn có điểm lưới.

Tôi nghĩ rằng điều này trả lời tốt câu hỏi của bạn bởi vì bài báo mà tôi đã trích dẫn có các công thức cho các sơ đồ sai phân hữu hạn bậc cao tùy ý, mà về bản chất là dành cho các lưới không đồng đều và chỉ bị giới hạn bởi số lượng điểm lưới bạn đưa vào trong khuôn tô. Bài viết cũng có một công thức chung cho lỗi cắt ngắn, nó sẽ giúp bạn đánh giá sơ đồ đa thức nội suy Lagrangian so với các sơ đồ khác mà bạn có thể xem xét. Bài viết của tác giả sẽ cho kết quả giống như phương pháp của Fornberg. Đóng góp của họ thực sự chỉ là kiểm đếm một vài ví dụ và đưa ra ước tính về lỗi mà bạn có thể thấy hữu ích.

Tôi thấy cả bài báo mà tôi đã trích dẫn và công trình của Fornberg đều hữu ích cho nghiên cứu của riêng tôi.

Tôi tìm thấy bài báo này về các công thức khác biệt hữu hạn với các khoảng phụ không bằng nhau . Tôi sẽ sử dụng điều này thay vì nội suy. Khi tôi nhập tất cả các công thức, tôi sẽ đăng chúng ở đây.

Phương pháp đơn giản nhất là sử dụng các xấp xỉ sai phân hữu hạn.

Một ước lượng hai điểm đơn giản là tính độ dốc của đường thẳng gần đó thông qua các điểm (x, f (x)) và (x + h, f (x + h)). [1] Chọn một số nhỏ h, h đại diện cho một thay đổi nhỏ trong x và nó có thể là dương hoặc âm. Độ dốc của đường này là

Biểu thức này là thương số khác nhau của Newton.

Độ dốc của đường secant này khác với độ dốc của đường tiếp tuyến bởi một lượng xấp xỉ với h. Khi h tiến đến 0, độ dốc của đường secant tiến gần đến độ dốc của đường tiếp tuyến. Do đó, đạo hàm thực của f tại x là giới hạn giá trị của thương số chênh lệch khi các đường tiếp tuyến càng ngày càng gần với đường thẳng tiếp tuyến