Các bộ giải PDE cho các mô hình khuếch tán và các mô hình liên quan


12

Tôi đang cố gắng mô phỏng các mô hình bán dẫn cơ bản cho các mục đích sư phạm - bắt đầu từ mô hình khuếch tán. Mặc dù tôi không muốn sử dụng một trình giả lập bán dẫn ngoài giá - tôi sẽ học các mô hình khác (phổ biến, gần đây hoặc tối nghĩa), tôi muốn sử dụng bộ giải PDE ngoài giá.

Nhưng ngay cả đối với trường hợp 1D đơn giản, mô hình khuếch tán trôi dạt bao gồm một số PDE phi tuyến được ghép nối:

Phương trình mật độ hiện tại J p = q p ( x ) μ p E ( x ) + q D p

Jn=qn(x)μnE(x)+qDnn
Jp=qp(x)μpE(x)+qDpp

Phương trình liên tục

nt=1qJn+Un
pt=1qJp+Up

Phương trình Poisson

(ϵV)= =-(p-n+ND+-NMột-)

và một số điều kiện biên.

Tôi đã thử một số bộ giải FEM python, FEniCS / DolfinSfePy , nhưng không có may mắn, do không thể tạo ra chúng ở dạng biến đổi yếu với các chức năng kiểm tra.

Tất nhiên có tùy chọn triển khai giải pháp số từ đầu nhưng tôi chưa nghiên cứu sâu về FEM / Numerical, vì vậy tôi hy vọng đó không phải là lựa chọn duy nhất của tôi vì tôi không muốn bị quá tải với các vấn đề về số.

Vì vậy, có một gói (pref. Nguồn mở) sẽ sử dụng các phương trình này, dưới dạng đó và giải quyết chúng? Hoặc có lẽ hình thức đa dạng được yêu cầu bởi các công cụ không khó như vậy? Trong mọi trường hợp, lựa chọn của tôi là gì?

Cảm ơn


Chỉnh sửa: Cố gắng xây dựng hình thức biến đổi yếu cho FEniCS / Dolfin hoặc SfePy

Sử dụng ba PDE (Poisson + hai phương trình liên tục với J thay thế), chúng tôi đang tìm kiếm V, n và p. Phương trình Poisson (sử dụng hàm kiểm tra ) là đơn giản. Tôi đang gặp khó khăn, tuy nhiên, với các phương trình liên tục.bạnV

PDE thứ hai (dạng mạnh) trong đó là hằng số, là các hàm vô hướngC1,C2U,n,p,

nt= =(C1nV+C2n)+Bạn
C1,C2Bạn,n,p,V

Đặt biểu thị một hàm kiểm tra cho PDE thứ hai. Sau đófn

Ωfnn-n1ΔtdΩ-C1Ωfn(nV)dΩ-C2Ωfn2ndΩ-ΩfnBạndΩ

Đặc biệt đáng lo ngại là không thể thiếu:

C1Ωfn(nV)dΩ

Nhưng là một vectơ và là vô hướng. Sau đó, sử dụng danh tính VV,bạnn,nφMột= =Mộtφ+φMột

C1Ωfn(nV)dΩ= =C1Ωfn(Vn)+C1ΩfnnV

Vì V được giải bằng phương trình Poisson, chúng ta có thể sử dụng giá trị được tính gần đây như được cho phép trong phần mềm Dolfin / FEniCS và đơn giản hóa cách chúng ta xử lý V trong phương trình kết hợp thứ hai này không? Những loại kỹ thuật này hoạt động trong khi rời rạc (ví dụ Gummel, ...), mà tôi không làm trong những bộ giải sẵn sàng này!

Ngoài ra các điều kiện biên được đưa ra dưới dạng chứ không phải , làm thế nào để bạn thực hiện điều này? Tôi có nên giải quyết cho năm biến , mặc dù được xác định bởi V và n?JnnJn,Jp,n,p,VJn


1
Tại sao bạn không thể viết ra các hình thức yếu của họ?
Bill Barth

@BillBarth Tôi đã chỉnh sửa câu hỏi của mình, xin hãy xem. Cảm ơn.
Weaam

2
Tích hợp của bạn bởi các bộ phận là sai. Kiểm tra công thức, có dấu hiệu bị thiếu, bạn có nhiều dẫn xuất ở bên phải hơn bên trái và bạn quên mất tích phân biên.
Wolfgang Bangerth

Ngoài ra, có lý do gì bạn đang sử dụng một sản phẩm chấm để biểu diễn phép nhân bằng không? Đó là một vô hướng, phải không? bạnn
Bill Barth

Vâng, tôi nên cẩn thận hơn. Vui lòng kiểm tra chỉnh sửa của tôi, đặc biệt là câu hỏi của tôi về cách chúng tôi đối xử với V vì nó đã được giải quyết bằng PDE trước đó. Điều này có ảnh hưởng gì đến hình thức đa dạng không? Cảm ơn bạn.
Weaam

Câu trả lời:


5

Công thức Scharfetter - Gummel (SG) thường được sử dụng để giải các phương trình mật độ hiện tại. Đây là một công thức đặc biệt khắc phục những khó khăn trong việc giải quyết sự phụ thuộc phi tuyến giữa mật độ tiềm năng và hiện tại.

Một văn bản tiêu chuẩn thảo luận về cách các phương trình này sử dụng các phương pháp tích hợp hộp trong cuốn sách này: Selberherr, S., Phân tích và mô phỏng các thiết bị bán dẫn. Springer-Verlag 1984

Kiểu mô phỏng này được gọi là Technology Computer Aided Design (TCAD). Trái ngược với Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), Phương pháp khối lượng hữu hạn (FVM) được sử dụng để tính toán các dòng điện. Điều này là do nó phù hợp với công thức SG đã được hiển thị (bởi các bộ lọc của phương pháp này) để hoạt động khi giải các phương trình mật độ hiện tại.

Nếu bạn muốn giải quyết vấn đề này bằng cách sử dụng PDE tổng quát, COMSOL có Mô-đun bán dẫn để giải quyết vấn đề này bằng phương pháp FEM / FVM lai.

Ngoài ra, các trình mô phỏng TCAD thương mại và mã nguồn mở được liệt kê ở đây: http://www.tcadcentral.com

Theo hiểu biết của tôi, người giải quyết PDAD TCAD tổng quát là DEVSIM, FLOOPS, PROPHET. Các công cụ thương mại có xu hướng có hầu hết các phương trình vật lý được mã hóa cứng trong một ngôn ngữ được biên dịch như C ++.


Tôi xin lỗi vì đã trả lời cực kỳ muộn. Tôi nhận ra rằng một ứng dụng trực tiếp của DD (ngay cả với SG) khá không ổn định (ít nhất là việc triển khai trong Fenics của tôi), do đó tôi đã từ bỏ nó. Trong một khóa học VLSI sau này, tôi thực sự đã sử dụng các công cụ Comsol và TCAD. Cảm ơn bạn đã trả lời toàn diện của bạn.
Weaam
Khi sử dụng trang web của chúng tôi, bạn xác nhận rằng bạn đã đọc và hiểu Chính sách cookieChính sách bảo mật của chúng tôi.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.