lưới đồng nhất so với lưới không đồng đều

Đây có thể là một câu hỏi ở cấp độ sinh viên nhưng tôi không thể chính xác làm cho nó phù hợp với chính mình. Tại sao chính xác hơn là sử dụng lưới không đồng nhất trong các phương pháp số? Tôi đang suy nghĩ trong bối cảnh của một số phương pháp sai phân hữu hạn cho PDE có dạng $u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)$ . Và giả sử tôi đang quan tâm trong một dung dịch tại điểm $x^{\ast}$ . Vì vậy, tôi có thể thấy rằng nếu tôi xấp xỉ đạo hàm thứ hai, ví dụ trên lưới thống nhất sử dụng xấp xỉ ba điểm, thì lỗi là bậc hai $O(h^2)$. Sau đó, tôi có thể xây dựng lưới không đồng nhất thông qua ánh xạ và tìm hệ số cho ba điểm được sử dụng để tính gần đúng đạo hàm. Tôi có thể thực hiện các mở rộng Taylor và một lần nữa đạt được một ràng buộc cho đạo hàm là bậc hai $O(h^2)$ , trong đó $h$ là khoảng cách trên lưới đồng nhất mà tôi thu được ánh xạ tới lưới không đồng nhất. Cả hai ước tính đều chứa các đạo hàm và tôi không rõ tại sao giải pháp lại chính xác hơn trên lưới không đồng nhất vì nó phụ thuộc vào độ lớn của các đạo hàm tương ứng trong các ước tính lỗi?

Cơ sở lý luận cho các lưới không đồng nhất diễn ra như thế này (tất cả các phương trình được hiểu là định tính, nghĩa là nói chung đúng nhưng không giả vờ là có thể chứng minh được trong mọi trường hợp và cho tất cả các phương trình hoặc tất cả các phân biệt có thể):

Khi giải quyết một phương trình với, nói rằng, tuyến tính phần tử hữu hạn, sau đó bạn thường có một ước tính lỗi của các loại hoặc , tương đương nhưng trong một hình thức phù hợp tốt hơn để sau: ‖ u - u h ‖ 2 L 2 ( Ω ) ≤ C h 4 max ‖

$$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)} \le C h_{\text{max}}^2 \|\nabla^2 u\|_{L^2(\Omega)},$$ Tuy nhiên, đây là một đánh giá quá cao. Trong thực tế, có thể trong nhiều trường hợp cho thấy rằng lỗi thực sự có dạng ‖ u - u h ‖ 2 L 2 ( Ω ) ≤ C Σ K ∈ T h 4 K ‖ ∇ 2 u ‖ 2 L 2 ( K ) . Ở đây, K là các tế bào của tam giác $$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C h_{\text{max}}^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(\Omega)}^2.$$ $$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C \sum_{K \in {\mathbb T}} h_K^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^2.$$ $K$$\mathbb T$. Này cho thấy rằng để làm cho nhỏ lỗi, nó không phải là thực sự cần thiết để giảm tối đa lưới kích thước . Thay vào đó, chiến lược hiệu quả nhất sẽ là cân bằng các cellwise đóng góp lỗi h 4 K ‖ ∇ 2 u ‖ 2 L 2 ( K ) - nói cách khác, bạn nên chọn h K α ‖ ∇ 2 u ‖ - 1 / 2 L 2 ( K ) . Nói cách khác, kích thước mắt lưới cục bộ $h_\text{max}$$h_K^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^2$ $$h_K \propto \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^{-1/2}.$$ nên nhỏ ở nơi dung dịch thô (có dẫn xuất lớn) và lớn ở nơi dung dịch mịn và công thức trên cung cấp thước đo định lượng cho mối quan hệ này.$h_K$

Chứng minh điều đó với chính bạn với ví dụ này. Lỗi tối đa khi nội suy sqrt (x) trên khoảng [0,1] với phép nội suy tuyến tính từng phần trên một lưới đồng nhất là gì?

Lỗi tối đa khi nội suy trên một lưới trong đó điểm thứ n của (i / n) ^ s và s là tham số phân loại lưới được chọn cẩn thận?

$u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)$$u_t(x,t)=(D(x)u_x(x,t))_x$$D(x)$$D(x)$

$u(x,0)$

Kamil, giải phương trình vi phân là toàn cầu, nội suy là cục bộ. Trong phép nội suy đa thức piecewise, độ chính xác khác xa với điểm kỳ dị sẽ không bị làm phiền bởi điểm kỳ dị. Thật không may, điều này hoàn toàn không đúng khi giải phương trình elip, chẳng hạn như bài toán giá trị biên hai điểm. Điểm kỳ dị sẽ gây ô nhiễm gần đúng trên toàn cầu.

Đây là một cái gì đó để thử. Giải D (sqrt (x) Du) trên [0,1] với Dirichlet đồng nhất bcs D là toán tử phân biệt. Sử dụng các phần tử hữu hạn hoặc sự khác biệt hữu hạn trên lưới đồng nhất n điểm. So sánh với một lưới trong đó điểm thứ i là (1 / n) ^ 1.5. Lưu ý rằng lỗi tồi tệ nhất đối với lưới đồng nhất khác xa so với điểm kỳ dị và lớn hơn nhiều so với lưới được phân loại.