Làm thế nào để giải phương trình cứng trong Bài toán ba số bị hạn chế này?

8

Tôi đã gặp một phương trình cứng trong việc giải bài toán ba thân bị hạn chế thông tư. [Một vật thể đang di chuyển xem xét ảnh hưởng của lực hấp dẫn gây ra bởi hai nguồn hấp dẫn cố định trong Không gian 2D.]

Các phương trình là:

$x''=-\frac{GM_1 (x-x_1)}{\sqrt{(x-x_1)^2+y^2}^3}--\frac{GM_2 (x-x_2)}{\sqrt{(x-x_2)^2+y^2}^3}$

$y''=-\frac{GM_1 y}{\sqrt{(x-x_1)^2+y^2}^3}--\frac{GM_2 y}{\sqrt{(x-x_2)^2+y^2}^3}$

Cả Phương thức Euler hoặc Runge Kutta đều không hoạt động vì thuộc tính gần $(x_1, 0)$ hoặc $(x_1, 0)$ không tốt. Các dẫn xuất thay đổi quá nhanh. Các mô phỏng không thể được giải quyết ngay. Đối tượng quá dễ chạm vào nguồn hấp dẫn.

Làm thế nào tôi có thể sửa lỗi này?

Cảm ơn bạn!

ode simulation

— Fin_de_Siecle
nguồn

3

Bạn có ý nghĩa gì bởi "Cả Phương pháp Euler hoặc Runge Kutta đều không hoạt động"? Đây có phải là triển khai của riêng bạn về các phương pháp này? Bạn đang sử dụng một kích thước bước thời gian cố định? Tôi tin rằng cả hai phương pháp này sẽ hoạt động tốt thậm chí gần với điểm kỳ dị nếu bạn chọn kích thước bước thời gian thích ứng.

— Wolfgang Bangerth

Bạn đã thử một phương thức ngầm , chẳng hạn như Backward Euler?

— Paul

7

Các nhà tích hợp thông thường không bảo tồn "hình dạng" của không gian pha, dẫn đến tăng hoặc giảm năng lượng có hệ thống, do đó bạn nên xem xét các nhà tích hợp "sympelectic". Đối với các cuộc gặp gỡ gần gũi, bạn nên xem xét phương pháp của Chambers (1999) Một nhà tích hợp đối xứng lai cho phép các cuộc gặp gỡ gần gũi giữa các cơ thể lớn .

— Jed Brown
nguồn

0

Bạn có thể tìm thấy phần giới thiệu rất dễ đọc về các bộ giải ODE hiện đại trong chương 7 của cuốn sách của Cleve Moler, Tính toán số với MATLAB, có sẵn trực tuyến tại đây: http://www.mathworks.com/moler/odes.pdf Trong số các chủ đề mà ông thảo luận là sự ổn định , làm thế nào để có được độ chính xác theo quy định với các thuật toán bước thời gian thay đổi và ứng dụng cho bài toán hai thân.

— Hóa đơn xanh
nguồn