Khi chúng ta sử dụng đa thức Bernstein trong ứng dụng

Khi sử dụng đa thức Bernstein để ước tính hàm liên tục thay vì chỉ sử dụng các phương pháp Phân tích số sơ bộ sau: "Đa thức Lagrange", "Toán tử sai phân hữu hạn đơn giản".

Câu hỏi là về việc kết hợp các phương pháp này.

Đa thức Bernstein và đa thức Lagrange đều trải dài trên cùng một không gian. Vì vậy, về mặt các chức năng có thể người ta có thể đại diện, sử dụng cái này hay cái kia không tạo ra sự khác biệt. Tuy nhiên, nếu bạn đang nghĩ đến việc sử dụng chúng làm các hàm cơ bản trong phương pháp phần tử hữu hạn hoặc bài toán nội suy, thì các thuộc tính phổ của toán tử tuyến tính bạn tạo sẽ phụ thuộc vào đa thức bạn chọn làm cơ sở. Điều này có thể gây ra sự khác biệt trong sự hội tụ của các bộ giải lặp. Tuy nhiên, trong trường hợp không có lỗi đại số tuyến tính, bạn sẽ nhận được câu trả lời tương tự bằng cách sử dụng một trong hai cơ sở.

So sánh điều này với các toán tử sai phân hữu hạn là một câu chuyện khác. Sử dụng đa thức sẽ cung cấp cho bạn các xấp xỉ lỗi trên một định mức liên tục. Tôi không rành về sự khác biệt hữu hạn, nhưng sự hiểu biết của tôi là bạn sẽ chỉ nhận được một ước tính lỗi tại các vị trí mà bạn chọn để rời rạc. Điều gì xảy ra ở giữa những điểm này là không rõ ràng.

Tôi sử dụng đa thức Bernstein trong phương pháp sắp xếp thứ tự để giải quyết các vấn đề giá trị biên cho ODE và PDE. Họ khá thú vị.

Sự hội tụ là theo cấp số nhân đối với một số BVP tuyến tính, nhưng chậm hơn một chút so với collocation của Ch Quashev, Legendre Galerkin và Tau.

Đây là con số so sánh tốc độ hội tụ với một số phương pháp phổ Ch Quashev. Vấn đề ví dụ là BVP tuyến tính:

$\frac{d^2u}{dx^2}-4\frac{du}{dx}+4u = e^x +C \;,\; x \in [-1,1]$

$C=-4e/(1+e)^2$

Tôi cũng đã tải lên con số này để figshare .

Nếu bạn muốn, bạn có thể kiểm tra mã tôi đang viết:

http://code.google.com.vn/p/bernstein-poly/

Và đây là bài báo arxiv tôi đã viết về việc giải các BVP hình elip trên một hình vuông bằng cách sử dụng sắp xếp đa thức Bernstein.

Năm ngoái, họ đã kỷ niệm một trăm năm đa thức Bernstein - một sự thật thú vị hơn.

Bài viết dưới đây cho thấy việc biểu diễn các đa thức dưới dạng Bernstein dẫn đến các thuật toán ổn định về số trong nhiều trường hợp:

RT Farouki, VT Rajan, Về điều kiện số của đa thức dưới dạng Bernstein, Thiết kế hình học hỗ trợ máy tính , Tập 4, Số 3, Tháng 11 năm 1987, Trang 191-216, DOI: 10.1016 / 0167-8394 (87) 90012-4

Các điểm kiểm soát của một đường cong Bézier gần với đường cong, nhưng không nhất thiết phải trên đường cong. Đây chính xác là tình huống tương tự với phép tính gần đúng của đa thức Bernstein, và trên thực tế, đa thức Bernstein là cơ sở cho đường cong Bézier. Bạn có thể sử dụng đường cong Bézier bậc cao để vẽ một đường thẳng thông qua một đường cong được cho bởi các điểm nhiễu, cũng không ai sẽ làm điều này do nỗ lực tính toán cao. Trong thực tế, phép nội suy đa thức bậc cao chỉ hiếm khi được sử dụng cho chính xác lý do đó, chỉ có phép nội suy Ch Quashev đôi khi là một ngoại lệ từ quy tắc đó.

Nhưng nếu chúng ta chỉ nói về phép nội suy đa thức bậc thấp, thì đặc tả trực quan của đường cong Bézier thông qua các điểm kiểm soát là một lợi thế rõ ràng so với các phương pháp khác. Tuy nhiên, về mặt này NURBS thậm chí còn tốt hơn, nhưng ít nhất một đường cong Bézier là trường hợp đặc biệt của NURBS, và đa thức Bernstein cũng là một thành phần quan trọng đối với NURBS.