định mức

Tôi đang đọc một cuốn sách về các phương pháp số và bình phương của định mức rời rạc $L^2$ được định nghĩa là

| | x | |_{2}^{2} = = h Σ_{1}^{N} x_{Tôi}^{2}

$||x||^2_2=h\sum_1^Nx^2_i$ Mọi điểm đều có "trọng số", là

h

$h$ , do đó, đây giống như một trung bình trên bình phương của các giá trị tại tất cả các điểm. Điều này trong thực tế xuất phát từ sự gần đúng của một tích phân liên tục. Mặt khác, tôi có thể xác định định mức tương tự trong đó lưới không đồng nhất với khoảng cách

h_{i}

$h_i$ là

| | x | |_{2}^{2} = = Σ_{1}^{N} h_{Tôi} x_{Tôi}^{2}

$||x||^2_2=\sum_1^Nh_ix^2_i$ có vẻ tự nhiên đối với tôi vì tôi có thể xấp xỉ một tích phân liên tục theo cách này nhưng vì tôi không thấy rằng trong các cuốn sách làm tôi nghi ngờ rằng tôi đang thiếu một cái gì đó! Vì vậy, nếu tôi có lưới không đồng nhất và tôi muốn thực hiện một số ước tính trong định mức này, làm thế nào để xác định nó?

pde

— Kamil
nguồn

không có tài liệu tham khảo vì tôi KHÔNG thấy rằng trong cuốn sách, đó là lý do tại sao tôi hỏi điều gì sai bằng cách định nghĩa nó theo cách này?

— Kamil

@David, tôi không nghĩ rằng tôi có một lỗi đánh máy ở đó, phải không? Tôi chỉ opend pdf đầu tiên eecs.berkeley.edu/~colella/E266AFall2012/E266A20120920.pdf và có vẻ giống với tôi trên trang 2.

— Kamil

@David, tôi đã mở cuốn sách của Leveque trên tiểu mục A1.5 trong đó định mức được xác định giống như trong câu hỏi, các phần tử trong tổng được đánh số từ

và

, tôi không viết rõ ràng rằng

0... N

$0...N$

h = 1 / N

$h=1/N$

, đó có phải là vấn đề không? Trong thực tế, trong bài viết trên tôi đã liên kết chia tỷ lệ được thực hiện bằng số điểm và trong cuốn sách tôi đã đề cập đến tỷ lệ là theo số lượng khoảng cách lưới. Bạn có thể nói cụ thể vấn đề ở đây là gì không?

h = 1 / (N - 1)

$h=1/(N-1)$

— Kamil

Tôi xin lỗi. Bạn làm tôi bối rối khi tuyên bố rằng bạn sẽ xác định định mức. Tôi không bao giờ nhìn vào phía bên trái của phương trình của bạn, vì tôi cho rằng nó phù hợp với văn bản trước nó. Tôi thấy bây giờ bạn đã (chính xác) xác định bình phương bình phương. Tôi chỉnh sửa văn bản để phù hợp với điều đó. Đây là một câu hỏi tốt.

— David Ketcheson

Câu trả lời:

Bạn hoàn toàn đúng: Định mức được xác định theo cách sao cho định mức (vectơ) rời rạc bằng (hoặc ít nhất là gần đúng) định mức liên tục của hàm tương ứng.

Khi bạn có các mắt lưới không đồng đều, hình thức bạn đưa ra (với bên trong tổng) là chính xác và thường được sử dụng trong phân tích các mắt lưới không đồng nhất. $h_i$

Tất nhiên, trong 2ngày, công thức đúng sẽ chứa hệ số $h^2$ và trong 3d của . $h^3$

— Wolfgang Bangerth
nguồn

Cho hàm số , $f(x)$ , chúng ta hãy chúng ta định nghĩa mức như $x \in (a,b)$ $L^2$ Cho một vectơ

‖ f ‖_{2}^{2} = = \int_{một}^{b} | f (x) |^{2} d x .

$\begin{equation} \lVert f \rVert_2^2 = \int_a^b \lvert f(x)\rvert^2 \, dx. \end{equation}$

, với

f \equiv {f_{i} = f (x_{i}), i = 0 \dots N}

$\mathbf f \equiv \{ f_i = f(x_i), \; i=0\dots N\}$

chúng tôi xác định định mức

rời rạclà

x_{i} = a + i \frac{b - a}{N}

$x_i = a + i \frac{b-a}{N}$

L^{2}

$L^2$

Trong câu hỏi của bạn, bạn cho rằng điều này được thực hiện bởi vì chúng tôi muốn điều đó

\begin{aligned} ‖ f ‖_{2, d}^{2} & = = h Σ_{Tôi = = 0}^{N} | f_{Tôi} |^{2}, & h = = \frac{b - một}{N} \end{aligned}

$\begin{align} \lVert \mathbf f \rVert_{2,\text{d}}^2 &= h \sum_{i=0}^N \lvert f_i \rvert^2, &h = \frac{b-a}{N} \end{align}$

và bạn đang giải thíchrời rạcchuẩn mực như một loại quy tắc vuông góc, và thắc mắc tại sao cho người không thống nhất lưới một công thức tốt hơn là không được sử dụng.

lim_{h \to 0} ‖ f ‖_{2, d} = = ‖ f ‖_{2}

$\begin{equation} \lim_{h \rightarrow 0} \: \lVert \mathbf f \rVert_{2,\text{d}} = \lVert f \rVert_2 \end{equation}$

Giải thích này không sai, nhưng không phải là duy nhất có thể. Là một kỹ sư làm việc với các đại lượng vật lý, thay vì các số thuần túy, tôi thích nghĩ về định mức rời rạc như là một quy tắc -euclide được chia tỷ lệ theo cách làm cho nó đồng nhất về chiều với liên tục $\ell^2$ $L^2$ $\lVert f - f^h \rVert_2 \rightarrow 0$ $\lVert \mathbf f -\mathbf f^h\rVert_{2,\text{d}} \rightarrow 0$

BIÊN TẬP:

Tôi đã xóa kết luận của tôi ở đây. Xem câu trả lời của Wolfgang.

Lưu ý rằng định mức euclide được chia tỷ lệ rất dễ tính toán, trong khi đề xuất của bạn hơi thiếu chính xác (có thể gây ra một số lo ngại như một công thức bậc hai) và tốn kém để tính toán.

~~$L^2$ $\ell^2$ $L^2$~~

— Stefano M
nguồn

ok, tôi đồng ý với một yếu tố mở rộng. Mặc dù có thể tốn kém để tính toán nhưng đó không phải là lý do cơ bản để không sử dụng nó. Hơn nữa, nếu tôi không thể xác định nó bằng mọi cách, có vẻ như tôi không thể thực hiện hơn bất kỳ ước tính ổn định nào cho lưới không đồng nhất vì tính ổn định đi kèm với một tiêu chuẩn và tôi không thể đưa ra được. Làm thế nào một người sẽ xử lý hơn các bằng chứng cho lưới không đồng nhất?

— Kamil

@Kamil trả lời của tôi chỉ là một khả năng lý do cho sự rời rạc

chuẩn mực trong

. (Theo cùng một lý do bạn đến một

L^{2}

$L^2$

1 D

$1D$

h^{d}

$h^d$

d

$d$

Tôi hiểu rồi. Ví dụ là tôi có một lưới không đồng nhất, không phải là bất cứ điều gì điên rồ, chỉ là một sự bất bình đẳng đơn giản. Vì vậy, tôi đang xem xét một phương pháp, nói Euler ngầm và sẵn sàng chứng minh sự ổn định của nó. Do đó, làm thế nào để xác định một định mức sau đó? Tôi thấy trong sách tất cả các lý thuyết được xây dựng cho các lưới đồng nhất, tuy nhiên, có những ưu điểm của lưới không hình dạng về lỗi cắt ngắn cục bộ ...

— Kamil

Tôi đánh giá cao câu trả lời của bạn nhưng tôi đã loại trừ câu thứ hai vì thực tế nó đã trả lời câu hỏi về khả năng xác định một quy tắc như vậy.

— Kamil