Tôi có thể tin tưởng tích phân ba số này từ Matlab không?

Người khoa học tính toán:

Ban đầu tôi đã đăng câu hỏi này tại Math Stack Exchange và ai đó đã nhận xét rằng tôi có thể nhận được câu trả lời "tốt hơn nhiều" ở đây:

Tôi là một người mới ở phương pháp số và Matlab. Tôi đang cố gắng đánh giá tổng sau của hai tích phân ba (rõ ràng nó có thể được viết đơn giản hơn, nhưng bạn vẫn không thể đánh giá nó một cách tượng trưng (?)). Tôi gặp khó khăn khi lấy làm việc ở đây, vì vậy tôi miễn cưỡng chia nó thành từng mảnh ở đây: Tôi muốn tìm tổng của$\LaTeX$

$$\frac{2}{((1/0.3) - 1)^2}\left(\int_1^{1/0.3}\int_1^{r_1}\int_0^{r_1-r_0}F_1(r_0,r_1,t)\exp(-\frac{(0.3)^2 t^2}{4})\,dt\,dr_0\,dr_1 \right),$$

và

$$\frac{2}{((1/0.3) - 1)^2}\left(\int_1^{1/0.3}\int_1^{r_1}\int_{r_1-r_0}^{r_1+r_0} F_2(r_0,r_1,t)\exp(-\frac{(0.3)^2 t^2}{4})\,dt\,dr_0\,dr_1 \right),$$

Ở đâu

$$F_1(r_0,r_1,t)=\frac{t^2 r_0^3*(0.3)^3}{2r_1^3\sqrt{\pi}}$$

và

$$F_2(r_0,r_1,t)=\frac{(0.3)^3\pi^{3/2}(r_0+r_1-t)^4 (t^2+2t(r_0+r_1)-3(r_1-r_0)^2)^2}{288(\frac{4}{3}\pi r_0^3)(\frac{4}{3}\pi r_1^3)}.$$

EDIT (ngày 2 tháng 3 năm 2013): Ai đó đã trả lời rằng họ đã nhận Mathicala để thực hiện các tích phân một cách tượng trưng. Tôi chỉ cố gắng thực hiện điều này (với các phiên bản đơn giản của tích phân) và Mathicala chỉ có thể thực hiện hai phần ngoài cùng của cái thứ nhất, và bị đình trệ ở cái thứ hai. Tôi sẽ rất cảm kích nếu có sự giúp đỡ nào đó. Đây là những gì tôi đã làm:

Tôi đã cố gắng đánh giá

$$\int_1^2 \int_1^{r_2} \int_0^{r_2-r_1} \frac{r_1^3 t^2 \exp(-t^2)}{r_2^3}\,dt\,dr_1\,dr_2$$ qua

Tích hợp [r1 ^ 3 / r2 ^ 3 * t ^ 2 * Exp (-t ^ 2), {t, 0, r2 - r1}, {r1, 1, r2}, {r2, 1, 2}]

và Mathicala trở lại (tôi gặp rắc rối với ở đây vì kết quả còn dài. Tôi chia nó thành hai phương trình. Nếu ai biết một cách hay để hiển thị điều này, xin vui lòng cho tôi biết):$\LaTeX$

$$\int_1^2 \frac{1}{64r2^2} e^{-1-r2^2}(2e^{2r2}(25+r2(19+2r2(1+r2)))-$$

$$e^{1+r2^2}(32r2(2+r2^2)) +\sqrt{\pi}(11+4r2^2(9+r2^2))\operatorname{Erf}[1-r2])\,dr2.$$

Sau đó tôi đã cố gắng đánh giá

$$\int_1^2\int_1^{r_2}\int_{r_2-r_1}^{r_2+r_1} \ldots \qquad \qquad \qquad$$

$$\ldots\frac{\exp(-t^2)(r_1+r_2-t)^4(t^2+2t(r_1+r_2)-3(r_2-r_1)^2)^2}{r_1^3 r_2^3}\,dt\,dr_\,dr_2$$

sử dụng

Tích hợp [(r1 + r2 - t) ^ 4 * (t ^ 2 + 2 * t * (r1 + r2) - 3 * (r2 - r1) ^ 2) ^ 2 * Exp [-t ^ 2] / r1 ^ 3 / r2 ^ 3, {r2, 1, 2}, {r1, 1, r2}, {t, r2-r1, r2 + r1}]

ngay bây giờ, và Mathicala đã không trả lời câu trả lời sau khoảng nửa giờ (nhưng tôi đang gặp vấn đề về mạng máy tính và họ có thể sẽ bị đổ lỗi).

[KẾT THÚC NGÀY 2 THÁNG 3]

Tôi đã sử dụng lệnh "triplequad" của Matlab, không có tùy chọn bổ sung. Tôi đã xử lý các giới hạn biến đổi của tích hợp bằng các hàm mũ, vì tôi không biết cách nào khác để thực hiện. Matlab đã cho tôi . $0.007164820144202$

Tôi biết Matlab là phần mềm tốt, nhưng tôi đã nghe nói rằng tích phân ba số khó thực hiện chính xác và các nhà toán học được cho là nghi ngờ, vì vậy tôi muốn một số cách để xác minh tính chính xác của câu trả lời này. Các tích phân đưa ra giá trị mong đợi của một thử nghiệm nhất định (nếu có ai muốn, tôi có thể chỉnh sửa câu hỏi này để mô tả thử nghiệm): Tôi đã triển khai thử nghiệm trong Matlab bằng cách sử dụng các số được tạo ngẫu nhiên, một triệu lần và tính trung bình các kết quả. Tôi đã lặp lại quá trình này bốn lần. Đây là kết quả (tôi xin lỗi nếu tôi sử dụng từ "dùng thử" không đúng cách):

$0.007133292603256$

$0.007120455071989$

$0.007062595022049$

$0.007154940168452$

$0.007215000289130$

Mặc dù mỗi thử nghiệm sử dụng một triệu mẫu, các giá trị mô phỏng chỉ đồng ý ở chữ số có nghĩa đầu tiên. Chúng không đủ gần nhau để tôi xác định xem tích phân ba số có chính xác không.

Vì vậy, bất cứ ai có thể cho tôi biết liệu tôi có thể tin tưởng vào kết quả của "triplequad" ở đây không, và trong những trường hợp nào người ta có thể tin tưởng nó nói chung?

Một gợi ý tôi nhận được tại Math Stack Exchange là dùng thử các phần mềm khác như Mathematica, Octave, Maple và SciPy. Đây có phải là lời khuyên tốt? Có phải mọi người thực sự làm công việc số trong Mathematica và Maple? Octave là một loại bản sao Matlab, vì vậy tôi có thể giả sử nó sử dụng cùng một thuật toán tích hợp không? Tôi thậm chí chưa từng nghe về SciPy trước đây và sẽ đánh giá cao bất kỳ ý kiến ​​nào về nó.

---

$0.007163085468$

$\LaTeX$ in Stack Exchange. Can you use the "aligned" environment here? I tried, and I couldn't get it to work.

Trước hết, không phải phần mềm (hoặc ít nhất là không nên) quyết định chất lượng của giải pháp cho một vấn đề, đó là chất lượng và sự phù hợp của thuật toán được áp dụng. Bạn nên kiểm tra thuật toán nào đang được sử dụng bởi triplequad trong Matlab (tôi đoán nó sử dụng một phương trình bậc hai thích nghi Gaussian lồng nhau). Và bạn nên kiểm tra dung sai yêu cầu là gì (yêu cầu dung sai tuyệt đối và tương đối). Rất có thể, theo mặc định, nó chỉ yêu cầu$10^{-8}$ độ chính xác tương đối.

Câu trả lời đến từ Maple có lẽ được thực hiện bởi Đại số máy tính và có lẽ nó có thể tìm ra một giải pháp khép kín sau đó được đánh giá bằng cách sử dụng dấu phẩy động chính xác kép. Điều này có lợi thế là bạn không xấp xỉ tích phân bằng phép tính tổng hữu hạn (và do đó đưa ra các lỗi gần đúng) nhưng Hệ thống đại số máy tính sẽ tìm thấy một biểu thức cho tích phân mà sau đó có thể được đánh giá. Tất nhiên, phải cẩn thận khi đánh giá biểu thức này (để làm tròn).

Nếu bạn muốn làm điều này với SciPy, bạn cũng cần phải sử dụng phương pháp bậc hai thích nghi Gaussian lồng nhau bằng cách sử dụng các thường trình Quadpack (Piessens et al.) Bên dưới. Trong Octave, bạn sẽ có cách tiếp cận tương tự. Và tôi sẽ không quá ngạc nhiên nếu Matlab còn sử dụng làm công cụ Quadpack vuông góc (vì nó là những tài liệu tham khảo).