Tích hợp một hàm điều hòa trên một khối tứ diện

Nói rằng tôi có hàm mà tôi muốn tích hợp trên một khối tứ diện . Nếu là tùy ý, phương trình bậc hai Gauss sẽ là một giải pháp tốt, nhưng tôi tình cờ biết rằng là điều hòa. Làm thế nào nhiều phương trình Gauss có thể được tăng tốc bằng cách sử dụng thông tin này? $f : \mathbf{R}^3 \to \mathbf{R}$ $T \subset \mathbf{R}^3$ $f$ $f$

Ví dụ: nếu thay vào đó là một hình cầu, việc đánh giá một lần ở trung tâm của hình cầu sẽ đưa ra câu trả lời chính xác bằng thuộc tính giá trị trung bình. $T$ $f$

Một tìm kiếm đã đưa ra bài báo sau, điều này rất thú vị nhưng khái quát trường hợp hình cầu theo một hướng khác (để đa hình thay vì cách xa các hình cầu):

Bojanov và Dimitrov, công thức hình khối mở rộng Gaussian cho các chức năng đa âm

quadrature

— Geoffrey Irving
nguồn

Tôi tìm thấy một cái gì đó có thể thú vị. http://www.math.kth.se/~gbjorn/exact.pdf

Tôi hy vọng điều này sẽ giúp, Tom

— Tom
nguồn

Đó là một bài báo thú vị, nhưng có vẻ như nó và các tài liệu tham khảo của nó chỉ xử lý các tích phân của các toán tử vi phân của các hàm điều hòa. Bạn có biết nếu chúng có thể được sử dụng cho tích phân thẳng?

— Geoffrey Irving

Tôi tự hỏi nếu giới thiệu một công thức bậc hai với cái gọi là "hạt nhân Poisson" ( en.wikipedia.org/wiki/Poisson_kernel ) có thể giúp ... Nếu không thì tôi biết rằng một số kỹ thuật viên xfem sử dụng các hàm điều hòa để làm phong phú không gian FE, và do đó nên sử dụng các phương pháp bậc hai cụ thể để tích hợp các dạng biến thể (?).

— Tom