Dao động lạ khi giải phương trình thăng tiến bằng sai phân hữu hạn với các điều kiện biên Neumann đóng hoàn toàn (phản xạ tại các biên)

Tôi đang cố gắng giải phương trình thăng tiến nhưng có một dao động lạ xuất hiện trong lời giải khi sóng phản xạ từ ranh giới. Nếu bất cứ ai đã nhìn thấy vật phẩm này trước khi tôi quan tâm để biết nguyên nhân và làm thế nào để tránh nó!

Đây là một gif hoạt hình, mở trong cửa sổ riêng biệt để xem hoạt hình (nó sẽ chỉ phát một lần hoặc không ngay khi nó được lưu vào bộ nhớ cache!)

Lưu ý rằng sự lan truyền có vẻ rất ổn định cho đến khi sóng bắt đầu phản xạ từ ranh giới đầu tiên. Bạn nghĩ gì có thể xảy ra ở đây? Tôi đã dành vài ngày để kiểm tra mã của mình và không thể tìm thấy bất kỳ lỗi nào. Thật kỳ lạ vì dường như có hai giải pháp lan truyền: một tích cực và một tiêu cực; sau khi phản ánh từ ranh giới đầu tiên. Các giải pháp dường như đang đi dọc theo các điểm lưới liền kề.

Các chi tiết thực hiện theo.

Phương trình thăng tiến,

$\frac{\partial u}{\partial t} = \boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x}$

trong đó là tốc độ lan truyền.$\boldsymbol{v}$

Crank-Nicolson là sự rời rạc ổn định vô điều kiện (liên kết pdf) cho phương trình tiến lên với điều kiện thay đổi chậm trong không gian (chỉ chứa các thành phần tần số thấp khi biến đổi Fourier).$u(x)$

Sự rời rạc mà tôi đã áp dụng là,

$\frac{\phi_{j}^{n+1} - \phi_{j}^{n}}{\Delta t} = \boldsymbol{v} \left[ \frac{1-\beta}{2\Delta x} \left( \phi_{j+1}^{n} - \phi_{j-1}^{n} \right) + \frac{\beta}{2\Delta x} \left( \phi_{j+1}^{n+1} - \phi_{j-1}^{n+1} \right) \right]$

Đặt các ẩn số ở phía bên tay phải cho phép điều này được viết ở dạng tuyến tính,

$\beta r\phi_{j-1}^{n+1} + \phi_{j}^{n+1} -\beta r\phi_{j+1}^{n+1} = -(1-\beta)r\phi_{j-1}^{n} + \phi_{j}^{n} + (1-\beta)r\phi_{j+1}^{n}$

trong đó (lấy trung bình thời gian có trọng số đồng đều giữa điểm hiện tại và tương lai) và .$\beta=0.5$$r=\boldsymbol{v}\frac{\Delta t}{2\Delta x}$

Các bộ phương trình này có dạng ma trận , trong đó,$A\cdot u^{n+1} = M\cdot u^n$

$\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} 1 & -\beta r & & & 0 \\ \beta r & 1 & -\beta r & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & \beta r & 1 & -\beta r \\ 0 & & & \beta r & 1 \\ \end{matrix} \right)$

$\boldsymbol{M} = \left( \begin{matrix} 1 & (1 - \beta)r & & & 0 \\ -(1 - \beta)r & 1 & (1 - \beta)r & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & -(1 - \beta)r & 1 & (1 - \beta)r \\ 0 & & &-(1 - \beta)r & 1 \\ \end{matrix} \right)$

Các vectơ và là số lượng đã biết và chưa biết về số lượng chúng ta muốn giải quyết.$u^n$$u^{n+1}$

Sau đó tôi áp dụng các điều kiện biên Neumann đã đóng ở ranh giới bên trái và bên phải. Theo các ranh giới khép kín, ý tôi là trên cả hai giao diện. Đối với các ranh giới khép kín, hóa ra (tôi sẽ không thể hiện công việc của mình ở đây) chúng ta chỉ cần giải phương trình ma trận trên. Như @DavidKetcheson đã chỉ ra, các phương trình ma trận trên thực sự mô tả các điều kiện biên Dirichlet . Đối với điều kiện biên Neumann,$\frac{\partial u}{\partial x} = 0$

$\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & & & 0 \\ \beta r & 1 & -\beta r & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & \beta r & 1 & -\beta r \\ 0 & & & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$

Cập nhật

Hành vi có vẻ khá độc lập với sự lựa chọn các hằng số tôi sử dụng, nhưng đây là các giá trị cho cốt truyện bạn thấy ở trên:

• $\boldsymbol{v}$ = 2
• dx = 0,2
• dt = 0,005
• $\sigma$ = 2 (Gaussian hwhm)
• $\beta$ = 0,5

Cập nhật II

Một mô phỏng với hệ số khuếch tán khác không, (xem bình luận bên dưới), dao động biến mất, nhưng sóng không còn phản xạ nữa!? Tôi không hiểu tại sao?$D=1$

Phương trình bạn đang giải quyết không cho phép các giải pháp đúng đắn, do đó không có điều kiện nào là điều kiện biên phản ánh cho phương trình này. Nếu bạn xem xét các đặc điểm, bạn sẽ nhận ra rằng bạn chỉ có thể áp đặt một điều kiện biên ở đúng ranh giới. Bạn đang cố gắng áp đặt một điều kiện biên Dirichlet đồng nhất ở ranh giới bên trái, không hợp lệ về mặt toán học.

Để nhắc lại: phương pháp đặc tính nói rằng giải pháp phải không đổi dọc theo bất kỳ dòng nào có dạng cho bất kỳ hằng số . Do đó, giải pháp dọc theo ranh giới bên trái được xác định bởi giải pháp tại thời điểm sớm hơn trong miền vấn đề của bạn; bạn không thể áp đặt một giải pháp ở đó.$x-\nu t = C$$C$

Không giống như phương trình, sơ đồ số của bạn không thừa nhận các giải pháp đúng đắn. Các chế độ đi phải được gọi là chế độ ký sinh và liên quan đến tần số rất cao. Lưu ý rằng sóng phải là gói sóng răng cưa, được liên kết với các tần số cao nhất có thể được biểu thị trên lưới của bạn. Làn sóng đó hoàn toàn là một tạo tác bằng số, được tạo ra bởi sự rời rạc của bạn.

Để nhấn mạnh: bạn chưa viết ra vấn đề giá trị ranh giới ban đầu đầy đủ mà bạn đang cố gắng giải quyết. Nếu bạn làm như vậy, nó sẽ rõ ràng rằng nó không phải là một vấn đề được đặt ra về mặt toán học.

Tuy nhiên, tôi rất vui vì bạn đã đăng bài này lên đây, vì đây là một minh họa tuyệt đẹp về những gì có thể xảy ra khi bạn phân biệt một vấn đề không được đặt ra và về hiện tượng của chế độ ký sinh. +1 lớn cho câu hỏi của bạn từ tôi.

Tôi đã học được rất nhiều từ các câu trả lời ở trên. Tôi muốn bao gồm câu trả lời này bởi vì tôi tin rằng nó cung cấp những hiểu biết khác nhau cho vấn đề.

Chúng ta hãy xem xét phương trình eqnarray với wavespeed không đổi .

Nếu không có điều kiện ban đầu và giới hạn, phương trình này có nghiệm có dạng . (một xung di chuyển sang phải)$u(x,t)=f(x-ct)$

Nếu chúng ta áp đặt điều kiện ban đầu , thì nghiệm của phương trình trong khoảng là . Không có ranh giới và đó là giải pháp.$u(x,t_0)=p(x)$$x \in (-\infty, \infty)$$p[x-c(t-t_0)]$

Bây giờ, chúng ta hãy giả sử rằng chúng ta xác định một miền giới hạn , sau khi tất cả các máy tính có bộ nhớ hạn chế. Sau đó, chúng ta cần xác định các giá trị tại và , nếu không tính toán chúng ta bị mắc kẹt.$x \in [a,b]$$a$$b$

Một cách để xác định các điều kiện biên là sử dụng Dirichlet trên ranh giới bên trái và một điều kiện phù hợp với giải pháp đang được truyền bá. Nghĩa là, chúng ta có thể định nghĩa (giả sử thời gian ban đầu ) $t_0$

Điều này tạo ra một xung chạy sang phải cho đến khi nó biến mất ở cạnh phải.

đẩy vào đây để hoạt hình trên Dirichlet trên ranh giới bên trái

Tôi vẫn nhận được một số tiếng ồn mà tôi không thể hiểu được (ai có thể giúp tôi ở đây không?)

Tùy chọn khác là áp đặt các điều kiện biên định kỳ. Đó là thay vì áp đặt điều kiện biên Dirichlet ở bên trái, chúng ta có thể áp đặt gói sóng phù hợp với ranh giới bên trái. Đó là:

Tuy nhiên, for và và vì chúng tôi cần đặt dữ liệu trong khoảng chúng tôi thêm một "khoảng thời gian" có độ dài và sau đó chúng tôi tìm thấy , do đó điều kiện bên trái sẽ là (tương tự!) và chúng tôi sẽ có một xung thoát ra bên phải và nhập vào bên trái.$a-c(t-t_0) <a$$t>t_0$$c>0$$[a,b]$$b-a$$a-c(t-t_0)+b-a=a+b(t-t_0)$$u(a,t_0)=p[b-c(t-t_0]$

Liên kết này cho thấy những gì tôi sẽ gọi các điều kiện biên định kỳ.

Tôi đã tạo ra các hình ảnh động trong python và lược đồ này là sơ đồ Crank-Nicholson như được chỉ ra trong câu hỏi ở đây.

Tôi vẫn đang vật lộn với mô hình nhiễu sau khi sóng chạm đến ranh giới đầu tiên (phải).