lớn dày đặc vấn đề phân công thấp

Có một phương pháp hợp lý giá rẻ để giải quyết vấn lớn, dày đặc, thấp cấp bậc vấn đề chuyển nhượng , nơi chạy khắp permutations.of ? $\max_\pi \sum_i A_{\pi i,i}$ $\pi$ $1:n$

Dưới đây là một ma trận cấp bậc thấp . Kích thước thông thường sẽ là (có thể lớn hơn nhiều), . $A$ $n\times n$ $r$ $n=10000~~$ $r=15$

optimization

— Arnold Neumaier
nguồn

Bởi

bạn có nghĩa là sản phẩm để bạn Striding qua ma trận cho khác nhau

π i

$\pi i$

π

$\pi$

— Bill Barth

chạy trên tất cả các hoán vị.

π

$\pi$

— Arnold Neumaier

Không nên nó được

sau đó?

A_{π (i), i}

$A_{\pi(i),i}$

— Jack Poulson

@JackPoulson:

và

là hai ký hiệu khác nhau cho hình ảnh của

dưới hoán vị

\i (i)

$\i(i)$

π i

$\pi i$

i

$i$

π

$\pi$

— Arnold Neumaier

Câu hỏi thú vị! Bạn đang tìm cách khai thác cấu trúc xếp hạng thấp chỉ vì lý do lưu trữ --- nghĩa là để tiết kiệm từ việc phải hình thành toàn bộ ma trận khi áp dụng thuật toán gán truyền thống? Hay bạn đang tìm cách khai thác thứ hạng thấp để tăng tốc tìm kiếm?

— Michael Grant

Kể từ với , chúng ta có trong đó là ma trận hoán vị tương ứng với . $A=R_1R_2^T$ $R_1, R_2\in \mathbb{R}^{n \times r}$

\underset{Tôi}{Σ} {Một}_{π Tôi, Tôi} = = \underset{Tôi}{Σ} (P_{π} Một)_{Tôi, Tôi} = = dấu vết (P_{π} R_{1} R_{2}^{T})

$\sum_i A_{\pi i, i} = \sum_i (P_{\pi} A)_{i, i} = \text{trace}(P_{\pi}R_1R_2^T)$

P_{π}

$P_{\pi}$

π

$\pi$

Đối với bất kỳ , các dấu vết có thể được tính như (Số lượng này còn được gọi là $\pi$

dấu vết (P_{π} R_{1} R_{2}^{T}) = = \underset{Tôi}{Σ} \underset{k}{Σ} (P_{π} R_{1})_{Tôi, k} (R_{2}^{T})_{k, Tôi} = = \underset{Tôi, k}{Σ} ((P_{π} R_{1}) \circ R_{2})_{Tôi, k} .

$\text{trace}(P_{\pi}R_1R_2^T) = \sum_{i} \sum_{k} (P_{\pi}R_1)_{i,k} (R_2^T)_{k,i} = \sum_{i,k} ((P_{\pi}R_1)\circ R_2)_{i,k}.$ Sản phẩm Frobenius ,

P_{π} R_{1} : R_{2}

$P_{\pi}R_1:R_2$

Ý tưởng này không làm giảm gánh nặng của việc phải trải qua tất cả các hoán vị và tìm kiếm vũ phu cho tối đa tất cả các sản phẩm Frobenius, và trên thực tế có độ phức tạp số học tương tự như tính toán rõ ràng . Tuy nhiên, nó có yêu cầu bộ nhớ thấp hơn nhiều kể từ khi bạn không bao giờ phải thực sự hình thành . $A=R_1R_2^T$ $A$

— Nico Schlömer
nguồn