Làm thế nào để mật độ lý thuyết chức năng quy mô với kích thước hệ thống?

Về mặt lý thuyết, làm thế nào để thời gian thực hiện thang tính toán lý thuyết chức năng mật độ (DFT) với số lượng điện tử? Tôi quan tâm đến việc triển khai DFT "điển hình" như VASP, ABINIT, v.v., không phải mã O (N).

Câu trả lời đúng đơn giản nhất là DFT nằm trong . Điều này xuất phát từ ý tưởng rằng cuối cùng bạn đang chéo một Hamiltonian với kích thước tỷ lệ thuận với số lượng bầu cử và đường chéo là về mặt kỹ thuật .O ( n 3$O(N_e^3)$$O(n^3)$

Trong thực tế, DFT là một loạt các bước và các bước khác nhau được giới hạn tỷ lệ trong bối cảnh khác nhau. Nếu chúng ta giới hạn bản thân ở DFT sóng phẳng (PW) (VASP, ABINIT, QE và các loại khác), chúng ta có thể đưa ra một số tuyên bố mạnh mẽ hơn. Một ý tưởng quan trọng cần hiểu đối với mã PW DFT là Hamilton không bao giờ được lưu trữ dưới dạng ma trận lớn; thay vào đó, hành động của toán tử Hamilton được tính toán và sử dụng trong các đường chéo lặp 'trong nhà' (gradient liên hợp, davidson, v.v.). Các đường chéo này chính thức là , trong đó là chi phí tính toán hành động của Hamilton, nhưng do vai trò của chúng trong thuật toán tự ổn định lớn hơn, chúng có xu hướng thực hiện nhanh hơn nhiều.M $O(n_e MV)$$MV$

Quá trình tính toán hành động của Hamilton xảy ra trong một vài bước:

• Tiềm năng cục bộ trong không gian thực đòi hỏi một FFT,$O(n_v \ln n_v)$
• Phép chiếu có thể xảy ra trong không gian thực hoặc g, hoặc , tương ứngO ( n a n p n v$O(n_a n_p)$$O(n_a n_p n_v)$
• Tiềm năng phi địa phương là một trong hai đường chéo hoặc chặn đường chéo, hoặc , tương ứngO ( n a n 2 p$O(n_a n_p)$$O(n_a n_p^2)$

tất cả điều này phải xảy ra một lần trên mỗi electron (thực sự là hàm sóng), vì vậy hãy thêm hệ số cho tất cả chúng.$n_e$

Thông qua một số phương tiện (chẳng hạn như Gram-Schmidt), các hàm sóng (hàm riêng của Hamilton) phải được giữ trực giao với nhau,$O(n_e^2 n_v)$

Cuối cùng, các hàm sóng cần được cấu thành thành mật độ electron. Trong mã PW, điều này được thực hiện với một FFT cuối cùng cho mỗi hàm sóng (và tổng), .$O(n_e n_v \ln n_v)$

Lưu ý rằng tôi đã đưa vào một vài khác nhau 's: n v có liên quan đến khối lượng (thực sự, nó là kích thước cơ sở), n p là số máy chiếu mỗi nguyên tử, n một là số nguyên tử, và n e số electron. Chính thức n v , n a và n e đều liên quan tuyến tính với nhau ( n $n$$n_v$$n_p$$n_a$$n_e$$n_v$$n_a$$n_e$$n_p$ là một số nguyên nhỏ), nhưng bạn có thể tưởng tượng việc tăng âm lượng với số lượng điện tử cố định (thêm chân không trong hình học phiến / dây) hoặc tăng số lượng máy chiếu có số lượng nguyên tử và electron cố định (sử dụng tiềm năng giả chính xác hơn).

$O(n^2 \ln n)$