Giải quyết sai lệch nhỏ nhất bằng thuật toán Barrodale-Roberts: Chấm dứt sớm?

Xin thứ lỗi cho câu hỏi dài dòng, nó chỉ cần một số lời giải thích để đi xuống vấn đề thực tế. Những người quen thuộc với các thuật toán được đề cập có thể có thể nhảy trực tiếp đến tablau đơn giản đầu tiên.

Để giải quyết các vấn đề sai lệch tối thiểu (hay còn gọi là -optimization), thuật toán Barrodale-Roberts là một phương pháp đơn giản cho mục đích đặc biệt, cần ít lưu trữ và nỗ lực tính toán để tìm ra mức tối thiểu phù hợp. $L_1$

Việc triển khai thuật toán của tôi chấm dứt ở một ví dụ đơn giản trước khi đạt được mức tối thiểu thích hợp. Tuy nhiên, có lẽ hãy để tôi nêu vấn đề theo cách thức chi tiết hơn trước:

Cho dữ liệu , -optimization cố gắng tìm để giảm thiểu $(x_i,y_i)$ $L_1$ $c\in m$ nơi là một ma trận mà phụ thuộc vào một số cách trên . Vấn đề này có thể được nêu là một chương trình tuyến tính và do đó, trong số những vấn đề khác được giải quyết bằng các phương pháp đơn giản.

\sum_{i = 1}^{n} | y_{i} - f (x_{i}) | with f (x) := A_{x} \cdot ϕ

$\sum_{i=1}^n |y_i-f(x_i)| \quad\text{with}\quad f(x):=A_x\cdot \phi$

A_{x}

$A_x$

n \times m

$n\times m$

x

$x$

$L_1$ $\mathop{rank}(A)$

Lei và Anderson năm 2002 đã đề xuất một sửa đổi nhỏ được cho là làm tăng tính ổn định số và do đó để khắc phục các vấn đề đã biết với thuật toán đơn giản.

Về cơ bản, thuật toán này giả định rằng bạn bắt đầu với một tập hợp các điểm nhất định phải được nội suy, sử dụng các quy trình đã cho để xây dựng một tableau đơn giản và sau đó sử dụng các quy tắc của Barrodale và Roberts để quyết định thay đổi biến cơ sở nào và do đó sửa đổi tập hợp các biểu dữ liệu gần đúng.

$\{(1,1), (2,1), (3,2), (4,3), (5,2)\}$ $a_1+a_2x$

\begin{array}{llll} Basis & R & u_{1} & u_{3} \\ b_{1} & 1 / 2 & 3 / 2 & - 1 / 2 \\ v_{2} & 1 / 2 & 1 / 2 & 1 / 2 \\ b_{2} & 1 / 2 & - 1 / 2 & 1 / 2 \\ u_{4} & 1 / 2 & 1 / 2 & - 3 / 2 \\ v_{5} & 1 & - 1 & 2 \\ Marginal cost & 2 & - 1 & 0 \end{array}

$\begin{array}{l|l|ll} \hline \text{Basis}&R& u_1 & u_3\\ \hline b_1 & 1/2 & 3/2 & -1/2 \\ v_2 & 1/2 & 1/2 & 1/2 \\ b_2 & 1/2 & -1/2 & 1/2 \\ u_4 & 1/2 & 1/2 & -3/2 \\ v_5 & 1 & -1 & 2 \\ \hline \text{Marginal cost} &2 & -1 & 0\\ \hline \end{array}$

$2$

Vì tất cả các vectơ không co thắt có chi phí cận biên không cố định [...]

việc lặp lại đã kết thúc và đạt được tối ưu.

$\{2, 5\}$

\begin{array}{llll} Basis & R & u_{2} & u_{5} \\ u_{1} & 1 / 3 & - 4 / 3 & 1 / 3 \\ b_{1} & 1 / 3 & 5 / 3 & - 2 / 3 \\ u_{3} & 2 / 3 & - 2 / 3 & - 1 / 3 \\ u_{4} & 4 / 3 & - 1 / 3 & - 2 / 3 \\ b_{2} & 1 / 3 & - 1 / 3 & 1 / 3 \\ Marginal cost & 7 / 3 & - 10 / 3 & - 5 / 3 \end{array}

$\begin{array}{l|l|ll} \hline \text{Basis}&R& u_2 & u_5\\ \hline u_1 & 1/3 & -4/3 & 1/3 \\ b_1 & 1/3 & 5/3 & -2/3 \\ u_3 & 2/3 & -2/3 & -1/3 \\ u_4 & 4/3 & -1/3 & -2/3 \\ b_2 & 1/3 & -1/3 & 1/3 \\ \hline \text{Marginal cost} &7/3 & -10/3 & -5/3\\ \hline \end{array}$

$u_2$ $u_1$

Thông tin bổ sung: Nếu tôi bắt đầu với tableau ban đầu do Barrodale và Roberts đưa ra, tôi cũng có thể tái tạo tableau ở trên bằng các bước đơn giản thông thường, do đó tôi khá tự tin rằng các giá trị số thực tế là chính xác và cách giải thích của tôi về quy tắc chọn trục Bị lỗi.

Bất kỳ suy nghĩ về điều này?

Tôi nhận ra rằng bản thân câu hỏi khá phức tạp và có lẽ cần có kiến thức về ít nhất là thuật toán Barrodale và Roberts để được trả lời đầy đủ. Thuật toán nói chung là dài để lặp lại nó ở đây một cách chi tiết. Tuy nhiên, nếu bạn có thêm câu hỏi về các bước tôi đã thực hiện hoặc thiếu thông tin, vui lòng hỏi và tôi sẽ sẵn sàng tăng câu hỏi.

optimization linear-programming

— Thilo
nguồn

Nếu ai đó có đủ danh tiếng có thể tạo ra một thẻ dọc theo dòng "Độ lệch tuyệt đối nhỏ nhất" hoặc "xấp xỉ L1", tôi sẽ rất biết ơn.

— Thilo

Điều kiện tối ưu là giải pháp cơ bản phải khả thi (liên quan đến các hạn chế không âm của nó) và chi phí giảm phải nhỏ hơn hoặc bằng 0. Nếu giải pháp cơ bản của bạn không khả thi thì tất cả các cược đều bị tắt.

— Brian Borchers

Giải pháp cơ bản là khả thi khi thi công. Vì vậy, không có vấn đề. Tuy nhiên, tôi có một ý tưởng đầu tiên về vấn đề có thể xảy ra. Tôi sẽ thêm một câu trả lời tương ứng nếu tôi đúng.

— Thilo

Giải quyết nó. Thật ra, Barrodale và Roberts đã giải quyết nó và tôi chỉ không đọc kỹ.

$u_i$ $i$ $u_i=0$ $v_i$

$b_j$ $c_j$ $u_i$ $v_i$

Do đó, tableau đơn giản của tôi ở trên phải được cho là trông như sau:

\begin{array}{llllll} Basis & R & u_{2} & u_{5} & v_{2} & v_{5} \\ u_{1} & 1 / 3 & - 4 / 3 & 1 / 3 & 4 / 3 & - 1 / 3 \\ b_{1} & 1 / 3 & 5 / 3 & - 2 / 3 & - 5 / 3 & 2 / 3 \\ u_{3} & 2 / 3 & - 2 / 3 & - 1 / 3 & 2 / 3 & 1 / 3 \\ u_{4} & 4 / 3 & - 1 / 3 & - 2 / 3 & 1 / 3 & 2 / 3 \\ b_{2} & 1 / 3 & - 1 / 3 & 1 / 3 & - 1 / 3 & - 1 / 3 \\ Marginal cost & 7 / 3 & - 10 / 3 & - 5 / 3 & 4 / 3 & - 1 / 3 \end{array}

$\begin{array}{l|l|ll| ll} \hline \text{Basis}&R& u_2 & u_5 & v_2 & v_5\\ \hline u_1 & 1/3 & -4/3 & 1/3 & 4/3 & -1/3 \\ b_1 & 1/3 & 5/3 & -2/3 & -5/3 & 2/3 \\ u_3 & 2/3 & -2/3 & -1/3 & 2/3 & 1/3 \\ u_4 & 4/3 & -1/3 & -2/3 & 1/3 & 2/3 \\ b_2 & 1/3 & -1/3 & 1/3 & -1/3 & -1/3 \\ \hline \text{Marginal cost} &7/3 & -10/3 & -5/3 & 4/3 & -1/3\\ \hline \end{array}$

$v_2$

Cảm ơn đã đọc và cho tôi một số nơi để viết ra vấn đề của tôi, điều này thường giúp thu hẹp giải pháp xuống đáng kể. Hy vọng rằng, câu trả lời này đôi khi có thể hữu ích cho bất kỳ ai khác đang cố gắng thực hiện Barrodale & Roberts.

— Thilo
nguồn