Sơ đồ loại Lax-Wendroff cao hơn?

Giả sử chúng ta muốn giải một luật bảo tồn hyperbolic . Tôi thực sự thích sử dụng Lax-Wendroff, đọc $u_t+f(u)_x=0$

$u_j^{n+1} = u_j^n -\frac{\Delta t}{\Delta x}(g(u_{j+1}^n,u_j^n)-g(u_j^n,u_{j-1}^n))$

Ở đâu

$g(v,w) = \frac12(f(v)+f(w)) - \frac{\Delta t}{2\Delta x}\vert\frac{f(w)-f(v)}{w-v}\vert^2(w-v)$

hoặc cho (thăng tiến tuyến tính), $f(u)=au$

$g(v,w)=\frac12a((v+w)-\frac{\Delta t}{\Delta x}a(w-v))$ .

Câu hỏi của tôi: Có bất cứ điều gì tương tự có thứ tự cao hơn? Tôi không nói về các độ phân giải cao lạ mắt đó, (W) ENO, MUSCL, ... các sơ đồ - chỉ là một thứ ba hoặc thứ tư đơn giản, sơ đồ ổn định hoạt động cho tùy ý . $f$

fluid-dynamics hyperbolic-pde

— Anke
nguồn

Tương tự theo cách nào? Và những điều "ưa thích" không đủ điều kiện trả lời?

— David Ketcheson

Tương tự về tính chất. Bạn cần thuật ngữ thứ hai trong định nghĩa của bởi vì thứ nhất một mình, cũng là thứ tự thứ hai, mang lại một sơ đồ không ổn định. (W) ENO, MUSCL, ... tất cả đều có thêm một số thủ thuật để xử lý sự không liên tục như bộ hạn chế thông lượng. Tôi muốn biết nếu có các sơ đồ thứ ba hoặc thứ tư đơn giản như Lax-Wendroff. Gibbs sẽ ở đó, tất nhiên, nhưng nó sẽ ổn định. mang lại sơ đồ thứ tư, nhưng nó không ổn định.

g

$g$

g (v_{0}, \dots, v_{3}) = \frac{7}{12} (f (v_{1}) + f (v_{2})) - \frac{1}{12} (f (v_{0}) + f (v_{3}))

$g(v_0,\dots,v_3) = \frac{7}{12}(f(v_1)+f(v_2)) - \frac{1}{12}(f(v_0) + f(v_3))$

— Anke

Có rất nhiều chương trình đặt hàng cao hơn ra khỏi đó. Nhưng theo định lý của Godunov , chỉ sơ đồ bậc nhất mới có thể đơn điệu và do đó không tạo ra dao động. Tài nguyên này đưa ra một ý tưởng ngắn gọn về việc xây dựng và phân tích các phương án khác nhau hữu hạn.

Trong thuật toán REA (Reconstruct, Evolve, Average), đa thức bậc cần thiết được xây dựng lại và các giá trị biến tương ứng được nội suy ở mặt ô. Điều này cung cấp cho các thông lượng tại các mặt tế bào. (Điều này giống như cho khuôn mặt cho sơ đồ đã đề cập ở trên, trong đó một đường thẳng được xây dựng lại từ mức trung bình của ô). $g(u_{j+{1}},u_{j})$ $j + \frac{1}{2}$

Sau đó, các giá trị ô được cập nhật bằng cách sử dụng thông lượng này.

Cuốn sách "Phương pháp khối lượng hữu hạn cho các vấn đề Hyperbolic" của Leveque cung cấp thông tin chi tiết về vấn đề này. Tùy thuộc vào sự lựa chọn của bạn về stprint, bạn có thể tạo một sơ đồ đặt hàng cao tùy ý. Nhưng sẽ luôn có dao động gần gián đoạn nếu đó là sơ đồ bậc cao.

Các nguồn khác của sơ đồ bậc cao là,

1) Các sơ đồ DRP (bài viết này cũng thảo luận về việc xây dựng các sơ đồ FD tiêu chuẩn của thứ tự cao tùy ý)

2) Các phương thức Galerkin không liên tục / liên tục (Các phương thức này có thể có độ chính xác cao tùy ý, nhưng việc tái cấu trúc không giống như FVM, diễn ra trong một phần tử. Các giá trị trung bình của ô không được sử dụng để tái cấu trúc)

3) Phương pháp quang phổ

Một số tài nguyên cho các shceme số,

1) "Phương pháp khối lượng hữu hạn cho các vấn đề hyperbol", Randall Leveque

2) "Gasdynamics tính toán", Culbert Laney (Thảo luận về ENO, MUSCL độc đáo quá)

3) "Bộ giải Riemann và phương pháp số cho động lực học chất lỏng", EFToro

— Subodh
nguồn

Cảm ơn tài nguyên, trông giống như một tài liệu tham khảo rộng rãi. Đối với phần còn lại của câu trả lời của bạn: Tôi nhận thức được những khó khăn khi không liên tục. Tuy nhiên, câu hỏi của tôi là rõ ràng về các phương pháp loại Lax-Wendroff. Lax-Wendroff ổn định, ví dụ FTCS thì không. Tất nhiên, bạn nhận được dao động, nhưng vẫn, tôi quan tâm đến loại phương pháp này.

— Anke