Số thập phân với đạo hàm

19

Hầu hết các phương pháp số cho cầu phương đều coi integrand là hàm hộp đen. Nếu chúng ta có thêm thông tin thì sao? Cụ thể, lợi ích gì, nếu có, chúng ta có thể rút ra được từ việc biết một vài dẫn xuất đầu tiên của integrand? Những thông tin khác có thể có giá trị?

Đối với các công cụ phái sinh nói riêng: ước tính lỗi cho phương trình bậc hai cơ bản (quy tắc hình chữ nhật / bẫy / simpson) có liên quan chặt chẽ với nhau. Có lẽ có một cách để chọn trước độ phân giải lấy mẫu thay vì dựa vào tính thích ứng động?

Tôi quan tâm đến cả trường hợp đơn biến và đa chiều.

quadrature error-estimation

— MRocklin
nguồn

3

Chỉ cần một chỉnh sửa nhỏ: Hình chữ nhật, hình thang và quy tắc của Simpson là các quy tắc loại Newton-Cotes, không phải là tứ giác Gaussian.

— Pedro

20

Tôi nghĩ rằng đây không hoàn toàn là những gì bạn đã nghĩ, nhưng để hoàn thiện, hãy bắt đầu với một số điều cơ bản. Hầu hết các công thức bậc hai như Newton-Cotes và Gauss đều dựa trên ý tưởng rằng để đánh giá tích phân của hàm xấp xỉ, bạn có thể tính gần đúng hàm bằng cách, ví dụ, một đa thức mà sau đó bạn có thể tích hợp chính xác:

\int_{một}^{b} f (x) d x \approx \int_{một}^{b} \underset{j}{Σ} c_{j} p_{j} (x) d x = = \underset{j}{Σ} c_{j} \int_{một}^{b} p_{j} (x) d x .

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b \sum_j c_j p_j(x)\,dx = \sum_j c_j\int_a^b p_j(x) \,dx.$

Newton-Cotes và Gauss dựa trên phép nội suy Lagrange , nghĩa là bạn nội suy hàm đã cho bằng cách sử dụng các giá trị của nó trên một tập hợp các nút (được đặt cách đều nhau cho Newton-Cotes và được chọn tối ưu theo nghĩa nhất định cho Gauss). Trong trường hợp này, và các tích phân trên các hàm cơ sở nút đa thức chính xác là các trọng số bậc hai. $x_j$ $c_j = f(x_j)$ $p_j$

Cách tiếp cận tương tự hoạt động với phép nội suy Hermite , nghĩa là phép nội suy sử dụng các giá trị của hàm và các đạo hàm của nó theo một trật tự nhất định trên một tập hợp các nút. Trong trường hợp chỉ có hàm và các giá trị đạo hàm đầu tiên, bạn có (Có một triển khai Matlab về điều này, nếu bạn muốn xem nó hoạt động như thế nào.)

\int_{một}^{b} f (x) d x \approx \int_{một}^{b} \underset{j}{Σ} f (x_{j}) p_{j} (x) + f^{'} (x_{j}) q_{j} (x) d x = = \underset{j}{Σ} f (x_{j}) w_{j} + f^{'} (x_{j}) {\bar{w}}_{j} .

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b \sum_j f(x_j) p_j(x) + f'(x_j) q_j(x)\,dx = \sum_j f(x_j) w_j+f'(x_j) \bar w_j.$

Điều này có liên quan đến một biến thể của phương trình bậc hai Gauss gọi là phương trình bậc hai Gauss-Legendre, trong đó các nút được chọn chính xác để làm cho trọng số biến mất (đó là một cách giải thích khác cho thực tế rằng phương trình bậc hai Gauss với các nút là chính xác theo thứ tự ). Tôi nghĩ rằng điều này ít nhất một phần trả lời câu hỏi của bạn trong đoạn thứ hai. Vì lý do này, phương trình bậc hai Gauss thường được sử dụng thay cho phép nội suy Hermite, vì bạn có cùng thứ tự với cùng số điểm, nhưng không cần thông tin phái sinh. $\bar w_j$ $N$ $2N-1$

Đối với phương pháp đa phương, bạn phải đối mặt với vấn đề là số lượng công cụ phái sinh (bao gồm cả công cụ phái sinh hỗn hợp) bạn cần đánh giá tăng rất nhanh khi đơn hàng tăng.

Quay trở lại câu hỏi của bạn: Một cách đơn giản để khai thác thông tin phái sinh sẽ là sử dụng một phân mục của miền tích hợp của bạn và sử dụng một phương trình riêng cho mỗi bộ phận. Nếu bạn biết rằng các đạo hàm của hàm của bạn lớn trong một số phần của miền, bạn sẽ sử dụng các miền nhỏ hơn (thực tế, một công thức bậc hai tổng hợp) hoặc thứ tự bậc hai cao hơn. Điều này có liên quan đến tính thích ứng h- và p , tương ứng, trong các phương pháp phần tử hữu hạn.

— Christian Clason
nguồn

6

Có một số quy tắc tích hợp "được sửa" sẽ gọi đạo hàm của các điểm cuối. Một ví dụ đơn giản là quy tắc hình thang đã được sửa. Giả sử chúng ta muốn xấp xỉ tích phân

\int_{một}^{b} f (x) d x .

$\int_a^bf(x)\,dx.$

Đặt là số nguyên và . Sau đó, quy tắc hình thang $n$ $h=(b-a)/n$

T = = \frac{h}{2} (f (một) + 2 f (một + h) + 2 f (một + 2 h) + \dots + 2 f (một + (n - 1) h) + f (b))

$T = \frac{h}{2}\bigl(f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+\cdots+2f(a+(n-1)h)+f(b)\bigr)$

cung cấp một xấp xỉ đơn giản cho tích phân, với lỗi của đơn hàng . Tuy nhiên, quy tắc hình thang "đã sửa": $h^2$

T^{'} = = T - \frac{h^{2}}{12} (f^{'} (b) - f^{'} (một))

$T'=T-\frac{h^2}{12}\bigl(f'(b)-f'(a)\bigr)$

làm tăng độ chính xác Ví dụ, xem xét

tôi = = \int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x

$I=\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$

$n=8$ $I$

0,74682413281243

$0.74682413281243$

$T$ $T'$

0,7458656148457, 0,74682363422375

$0.7458656148457,\quad 0.74682363422375$

tương ứng. Các lỗi là

| tôi - T | = = 9,5851796673207534 \times 10^{- 4}

$|I-T|=9.5851796673207534 \times 10^{-4}$

và

| tôi - T^{'} | = = 4.9858868145236102 \times 10^{- 7}

$|I-T'|=4.9858868145236102 \times 10^{-7}$

cho thấy một sự gia tăng đáng kể về độ chính xác. Có những sửa đổi thêm liên quan đến các dẫn xuất cao hơn, hoặc bắt đầu từ các quy tắc Newton-Cotes khác hoặc quy tắc loại Gaussian.

— Alasdair
nguồn

5

$\text{polynomial}\times\text{weight function}$ chính xác. Như mong đợi, để sử dụng quy tắc này, giờ đây người ta dự kiến có thể đánh giá chức năng của bạn và một số dẫn xuất của nó tại các điểm thực tùy ý. Một tìm kiếm ở những nơi thông thường sẽ có thể xuất hiện thêm một vài tài liệu tham khảo.

— JM
nguồn

4

Mặc dù chủ đề này khá cũ, tôi nghĩ rằng nó có thể hữu ích khi có một tài liệu tham khảo đến một bài báo đánh giá ngang hàng để khái quát hóa một số quy tắc bậc hai phổ biến.

Nenad Ujevic, "Một khái quát về quy tắc và giới hạn lỗi đã sửa đổi của Simpson", Tạp chí ANZIAM, Tập. 47, 2005.

http://journal.austms.org.au/ojs/index.php/ANZIAMJ/article/view/2/1268

Tôi nghĩ rằng nó sẽ hữu ích để cung cấp một tài liệu tham khảo tốt có thể truy cập tự do, và có tài liệu tham khảo cho các giấy tờ khác.

Như Alasdair đã lưu ý ở trên, bao gồm các dẫn xuất của các điểm cuối có thể tăng độ chính xác đáng kể. Ví dụ, Ujevic và Roberts đã chỉ ra rằng việc thêm các đạo hàm đầu tiên vào Quy tắc của Simpson sẽ giảm lỗi xuống bậc 6 trong khoảng cách lưới, trong khi đó là bậc 4 không có đạo hàm. Bài báo Ujevic cho thấy các giới hạn lỗi thậm chí chặt chẽ hơn có thể được tìm thấy.

N. Ujevic và AJ Roberts, Một công thức và ứng dụng bậc hai đã được sửa, ANZIAM J., 45 (E), (2004), E41 phiên E56. http://anziamj.austms.org.au/V45/E051

(Christian Clason đề nghị tôi chuyển một nhận xét mà tôi đã đưa ra câu trả lời vì anh ấy nghĩ rằng các tài liệu tham khảo tôi đưa ra là những tài liệu tốt và chúng có thể bị mất nếu bình luận bị xóa ở giai đoạn nào đó.)

— Lysistrata
nguồn

Bạn có thể nhận xét về kết quả được trình bày trong bài viết?

— nicoguaro

Bây giờ tôi có thể có đủ điểm rep! Tôi nghĩ rằng nó sẽ hữu ích để cung cấp một tài liệu tham khảo tốt có thể truy cập tự do, và có tài liệu tham khảo cho các giấy tờ khác. Như Alasdair đã lưu ý ở trên, bao gồm các dẫn xuất của các điểm cuối có thể tăng độ chính xác đáng kể. Ví dụ, trong tài liệu tham khảo 6 của bài báo mà tôi đã liên kết, Roberts và Ujevic đã chỉ ra rằng việc thêm các đạo hàm đầu tiên vào Quy tắc của Simpson sẽ giảm lỗi xuống bậc 6 trong khoảng cách lưới, trong khi đó là bậc 4 không có đạo hàm. Bài báo Ujevic cho thấy các giới hạn lỗi thậm chí chặt chẽ hơn có thể được tìm thấy.

— Lysistrata

1

@Lysistrata Đó là một tài liệu tham khảo tốt. Bạn có thể chỉnh sửa ý kiến của bạn vào câu trả lời không? Nhận xét có thể biến mất, và thật đáng tiếc nếu mất chúng.

— Christian Clason