Tại sao các điểm cách đều nhau hành xử xấu?

24

Mô tả thí nghiệm:

Trong phép nội suy Lagrange, phương trình chính xác được lấy mẫu tại điểm (thứ tự đa thức ) và nó được nội suy tại 101 điểm. Ở đây được thay đổi từ 2 đến 64. Mỗi lần các lô lỗi , và được chuẩn bị. Người ta thấy rằng, khi các chức năng được lấy mẫu tại điểm equi-cách nhau, sai số giảm ban đầu (nó sẽ xảy ra cho đến khi là ít hơn khoảng 15 hoặc lâu hơn) và sau đó là lỗi đi lên với mức tăng hơn nữa trong . $N$ $N - 1$ $N$ $L_1$ $L_2$ $L_\infty$ $N$ $N$

Trong khi đó, nếu việc lấy mẫu ban đầu được thực hiện tại các điểm Legendre-Gauss (LG) (gốc của đa thức Legendre), hoặc các điểm Legendre-Gauss-lobatto (LGL) (gốc của đa thức lobatto), thì lỗi sẽ giảm xuống cấp độ máy và không tăng khi được tăng thêm. $N$

Câu hỏi của tôi là

Điều gì chính xác xảy ra trong trường hợp các điểm cách đều nhau?

Tại sao tăng thứ tự đa thức làm cho lỗi tăng sau một điểm nhất định?

Có phải điều này cũng có nghĩa là nếu tôi sử dụng các điểm cách đều nhau để tái cấu trúc WENO / ENO (sử dụng đa thức Lagrange), thì trong vùng trơn tru, tôi sẽ gặp lỗi? (tốt, đây chỉ là những câu hỏi giả định (theo cách hiểu của tôi), thực sự không hợp lý khi xây dựng lại đa thức của thứ tự 15 hoặc cao hơn cho sơ đồ WENO)

Chi tiết bổ sung:

Chức năng gần đúng:

$f(x) = \cos(\frac{\pi}{2}~x)$ , $x \in [-1, 1]$

$x$ chia thành (và sau này là LG). Chức năng được nội suy tại 101 điểm mỗi lần. $N$

Các kết quả:

a) Các điểm cách đều nhau (nội suy cho ): $N = 65$

nhập mô tả hình ảnh ở đây

b) Các điểm cách đều nhau (biểu đồ lỗi, thang đo log):

nhập mô tả hình ảnh ở đây

a) Điểm LG (Nội suy cho ): $N = 65$
b) Điểm LG (biểu đồ lỗi, thang đo log):

nhập mô tả hình ảnh ở đây

— Subodh
nguồn

26

Vấn đề với các điểm không thể thay đổi là đa thức lỗi nội suy, nghĩa là

f (x) - P_{n} (x) = \frac{f^{(n + 1)} (ξ)}{(n + 1)!} \prod_{i = 0}^{n} (x - x_{i}), ξ \in [x_{0}, x_{n}]

$f(x) - P_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{i=0}^n (x - x_i),\quad \xi\in[x_0,x_n]$

hành xử khác nhau cho các bộ nút khác nhau . Trong trường hợp các điểm không thể thay đổi, đa thức này sẽ nổ tung ở các cạnh. $x_i$

Nếu bạn sử dụng các điểm Gauss-Legendre, đa thức lỗi được xử lý tốt hơn đáng kể, nghĩa là nó không nổ tung ở các cạnh. Nếu bạn sử dụng các nút Ch Quashev, phần tử đa thức này và lỗi nội suy là tối thiểu.

— Pedro
nguồn

6

Có một lời giải thích khá chi tiết trong cuốn sách của John P. Boyd Ch Quashev và Phương pháp quang phổ Fourier, trong đó đa thức lỗi nội suy của Pedro cũng được giải thích độc đáo (Chương 4.2).

— Bort

Cảm ơn bạn. Ngoài ra hằng số Lebesgue cho các lựa chọn được đề cập ở trên hành xử khác nhau. Đối với các điểm cách đều nhau, hằng số Lebesgue tăng theo cấp số nhân trong khi đối với LG, LGL, Ch Quashev nó là loại bão hòa với mức tăng n. en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_constant_(interpolation) , ami.ektf.hu/uploads/papers/finalpdf/AMI_33_from109to123.pdf , nhưng câu hỏi liên quan thực hiện số vẫn còn ...

— Subodh

Xin lỗi, tôi không biết nhiều về ENO / WENO. Nhưng tôi sẽ không mong đợi các vấn đề trong khu vực trơn tru cho các phép nội suy bậc thấp, mặc dù các nút cầu phương chắc chắn là lựa chọn tốt hơn cho các lý do aparent.

— Bort

22

Đây là một câu hỏi thực sự thú vị, và có rất nhiều lời giải thích có thể. Nếu chúng ta đang cố gắng sử dụng phép nội suy đa thức, thì lưu ý rằng đa thức thỏa mãn bất đẳng thức khó chịu sau đây

$P$ $N$

| P^{'} (x) | \leq \frac{N}{\sqrt{1 - x^{2}}} max_{x} | P (x) |

$|P^{\prime}(x)| \leq \frac{N}{\sqrt{1-x^2}}\max _x |P(x) |$

$x \in (-1,1)$

max_{x} | P^{'} (x) | \leq N^{2} max_{x} | P (x) |

$\max _x |P^{\prime} (x) | \leq N^2 \max _x |P(x) |$

và lưu ý rằng điều này là sắc nét theo nghĩa là đa thức Ch Quésehv biến điều này thành một phương trình. Vì vậy, nói cách khác, chúng ta có ràng buộc kết hợp sau đây.

| P^{'} (x) | \leq min (\frac{N}{\sqrt{1 - x^{2}}}, N^{2}) max_{x} | P (x) |

$|P^{\prime}(x)| \leq \min \left(\frac{N}{\sqrt{1-x^2}},N^2\right)\max _x |P(x) |$

$N^2$ $1/{N^2}$

Tuy nhiên, hóa ra đây không nhất thiết là một hiện tượng đa thức, tôi đề nghị bài báo sau:

http://math.la.asu.edu/~platte/pub/prevised.pdf

Nó nói một cách lỏng lẻo: Nếu bạn có cùng khả năng xấp xỉ của cơ sở đa thức, thì bạn không thể sử dụng các điểm cách đều nhau một cách ổn định.

— Reid.Atcheson
nguồn

1

Nó không phải là các điểm cách đều nhau là vấn đề. Đó là sự hỗ trợ toàn cầu của các chức năng cơ bản cùng với các điểm cách đều nhau là vấn đề. Một phép nội suy có điều kiện hoàn hảo sử dụng các điểm cách đều nhau được mô tả trong Phân tích số của Kress, sử dụng các hàm cơ sở spline khối b của hỗ trợ nhỏ gọn.

— người dùng14717
nguồn

C^{2}

$C^2$

C^{\infty}

$C^{\infty}$

C^{2}

$C^2$

C^{4}

$C^4$

1

Điều gì chính xác xảy ra trong trường hợp các điểm cách đều nhau?

Tại sao tăng thứ tự đa thức làm cho lỗi tăng sau một điểm nhất định?

Điều này tương tự như hiện tượng của Runge, trong đó, với các nút cách đều nhau, lỗi nội suy trở nên vô cùng với sự gia tăng của mức độ đa thức, tức là số điểm.

Một trong những gốc rễ của vấn đề này có thể được tìm thấy trong hằng số của Lebesgue như được ghi nhận bởi nhận xét của @ Subodh cho câu trả lời của @Pedro. Hằng số này liên quan đến phép nội suy với xấp xỉ tốt nhất.

Một số ký hiệu

$f \in C([a,b])$ $x_k$

L_{k} (x) = \prod_{i = 0, i \neq j}^{n} \frac{x - x_{i}}{x_{k} - x_{i}}

$L_k(x) = \prod_{i=0, i\neq j}^{n}\frac{x-x_i}{x_k-x_i}$

$p_n \in P_n$ $(x_k, f(x_k))$ $(x_k, f_k)$

p_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} f_{k} L_{k} (x)

$p_n(x) = \sum_{k=0}^n f_kL_k(x)$

$\tilde{f}_k$ $\tilde{p}_n$

{\tilde{p}}_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} {\tilde{f}}_{k} L_{k} (x)

$\tilde{p}_n(x) = \sum_{k=0}^n \tilde{f}_k L_k(x)$

Các ước tính lỗi là:

p_{n} (x) - {\tilde{p}}_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} (f_{k} - {\tilde{f}}_{k}) L_{k} (x)

$p_n(x) - \tilde{p}_n(x) = \sum_{k=0}^n (f_k - \tilde{f}_k) L_k(x)$

| p_{n} (x) - {\tilde{p}}_{n} (x) | \leq \sum_{k = 0}^{n} | f_{k} - {\tilde{f}}_{k} | | L_{k} (x) | \leq (max_{k} | f_{k} - {\tilde{f}}_{k} |) \sum_{k = 0}^{n} | L_{k} (x) |

$| p_n(x) - \tilde{p}_n(x) | \leq \sum_{k=0}^n |f_k - \tilde{f}_k| |L_k(x)| \leq \left ( \max_k |f_k - \tilde{f}_k| \right) \sum_{k=0}^n |L_k(x)|$

$\Lambda_n$

Λ_{n} = max_{x \in [a, b]} \sum_{k = 0}^{n} | L_{k} (x) |

$\Lambda_n = \max_{x \in [a,b]} \sum_{k=0}^n |L_k(x)|$

Với điều này, ước tính cuối cùng là:

| | p_{n} - {\tilde{p}}_{n} | |_{\infty} \leq (max_{k} | f_{k} - {\tilde{f}}_{k} |) Λ_{n}

$|| p_n - \tilde{p}_n ||_{\infty} \leq \left ( \max_k |f_k - \tilde{f}_k| \right) \Lambda_n$

$\infty$ $L^{\infty} \subseteq \dots \subseteq L^1$

$\Lambda_n$

độc lập với ngày:
chỉ phụ thuộc từ phân phối nút;
một chỉ số về sự ổn định (càng nhỏ thì càng tốt).

$|| \cdot||_\infty$

Từ bỏ định lý theo sau, chúng ta có một ước tính về lỗi nội suy với hằng số của Lebesgue:

$f$ $p_n$
$| | f - p_{n} | |_{\infty} \leq (1 + Λ_{n}) d_{n} (f)$ $|| f - p_n ||_{\infty} \leq (1 + \Lambda_n) d_n(f)$ $d_{n} (f) = inf_{q_{n} \in P_{n}} | | f - q_{n} | |_{\infty}$ $d_n(f) = \inf_{q_n \in P_n} || f - q_n ||_{\infty}$

$\Lambda_n$

$\Lambda_n$ $c$

Λ_{n} \geq \frac{2}{π} \log (n) - c

$\Lambda_n \geq \frac{2}{\pi} \log(n) - c$

Λ_{n} \approx \frac{2^{n + 1}}{e n \log (n)}

$\Lambda_n \approx \frac{2^{n+1}}{en \log(n)}$

Λ_{n} \leq \frac{2}{π} \log (n) + 4

$\Lambda_n \leq \frac{2}{\pi} \log(n) + 4$

Đối với các phân phối nút khác, xem ví dụ bảng 1 của bài viết này .

Có rất nhiều tài liệu tham khảo về cuốn sách về nội suy. Trực tuyến các slide này là tốt đẹp như sơ yếu lý lịch.

Ngoài ra bài viết mở này ([1])

Một phép so sánh nội suy bảy số lưới cho đa thức trên khoảng cho các phép so sánh khác nhau.

— Mauro Vanzetto
nguồn

1

$\{x_i\}_{i=1\ldots n}$

$d$ $0 \le d \le n$ $p_i$ $\{ x_i, \ldots x_{i+d} \}$ $f$ $\{x_i\}_{i=1\ldots n}$

r_{n} (x) := \frac{\sum_{i = 0}^{n - d} λ_{i} (x) p_{i} (x)}{\sum_{i = 0}^{n - d} λ_{i} (x)}

$r_n(x) := \frac{\sum_{i=0}^{n-d} \lambda_i(x) \, p_i(x)}{\sum_{i=0}^{n-d} \lambda_i(x)}$

với "các hàm trộn"

λ_{i} (x) = \frac{(- 1)^{i}}{(x - x_{i}) \dots (x - x_{i + d})}

$\lambda_i(x) = \frac{(-1)^i}{(x-x_i) \ldots (x - x_{i+d})}$

Một số tính chất của các nội suy này:

chúng là các nội suy hợp lý barycentric không có cực thực ;
${\cal O}(h^{d+1})$ $f \in C^{d+2}[a,b]$
$p_0, \ldots p_{n-d}$ $\lambda$
$d$ $d+1$ $n-d$ là số lẻ);
có thể được viết dưới dạng barycentric (xem phần 4 của Floater và Hormann's paper).

Caveat emptor : Đúng như dự đoán (xem giấy tham chiếu bởi @ Reid.Atcheson), tăng $d$ nhanh chóng làm suy giảm điều hòa của quá trình gần đúng.

Có một số công việc gần đây được thực hiện bởi Klein để giảm bớt vấn đề này. Ông đã sửa đổi cách tiếp cận Floater-Hormann ban đầu bằng cách thêm $2 d$ giá trị dữ liệu mới tương ứng với các điểm nằm ngoài khoảng nội suy ban đầu $[a,b]$ được xây dựng từ một phần mở rộng trơn tru của $f$ ở ngoài $[a,b]$ chỉ sử dụng dữ liệu đã cho $f_0, \ldots f_n$ . Tập dữ liệu "toàn cầu" này sau đó được nội suy bởi một hàm hợp lý FH mới $r_{n+2d}$ và chỉ đánh giá bên trong $[a,b]$ .

Các chi tiết được trình bày độc đáo trong bài viết của Klein (được liên kết bên dưới), trong đó cho thấy các phép nội suy hợp lý mở rộng này có các hằng số Lebesgue phát triển logarit với $n$ và $d$ (trong khi đối với sơ đồ FH ban đầu, cho biết tăng trưởng theo cấp số nhân trong $d$ , xem Bos et al. ).

Thư viện Chebfun sử dụng nội suy FH khi xây dựng chebfunsdữ liệu không thể thay thế, như được giải thích ở đây .

Tài liệu tham khảo:

MS Floater và K. Hormann, phép nội suy hợp lý Barycentric không có cực và tỷ lệ xấp xỉ cao, Numerische Mathematik 107 (2007).

G. Klein, Một phần mở rộng của Floater Gia đình Hormann Các phép nội suy hợp lý nhị phân, Toán học tính toán , 82 (2011) - bản in sẵn

L. Bos, S. De Marchi, K. Hormann và G. Klein, Trên hằng số Lebesgue của phép nội suy hợp lý barycentric tại các nút cách đều, Numer. Môn Toán. 121 (2012)

— GoHokies
nguồn