Trước hết, bạn cần phải tự hỏi mình câu hỏi nếu bạn cần một thói quen cầu phương toàn diện, nên lấy một tích phân làm hộp đen. Nếu vậy, bạn không thể nhưng đi đến phương trình thích ứng mà bạn hy vọng rằng khả năng thích ứng sẽ bắt được những điểm "khó" trong tích phân. Và đó là một trong những lý do Piessens et al. đã chọn cho quy tắc Gauss-Kronrod (loại quy tắc này cho phép bạn tính toán xấp xỉ tích phân và ước tính sai số gần đúng bằng cách sử dụng các đánh giá chức năng tương tự) theo thứ tự khiêm tốn được áp dụng trong sơ đồ thích ứng (với phân chia khoảng sai số cao nhất) cho đến khi đạt được dung sai yêu cầu. Thuật toán Wynn-epsilon cho phép cung cấp gia tốc hội tụ và thường giúp ích trong các trường hợp có điểm kỳ dị điểm cuối.
Nhưng nếu bạn biết "hình thức" hoặc "loại" của thương hiệu của mình, bạn có thể điều chỉnh phương pháp của mình theo những gì bạn cần để chi phí tính toán được giới hạn cho độ chính xác bạn cần. Vì vậy, những gì bạn cần xem xét:
Integrand:
- Độ mượt: có thể được xấp xỉ (tốt) bởi một đa thức từ một họ đa thức trực giao (nếu vậy, phương trình bậc hai Gaussian sẽ làm tốt)
- Điểm kỳ dị: tích phân có thể được chia thành các tích phân chỉ với điểm kỳ dị điểm cuối (nếu vậy, quy tắc IMT hoặc phương trình hàm mũ đôi sẽ tốt cho mỗi khoảng phụ)
- Chi phí tính toán để đánh giá?
- Integrand có thể được tính toán? Hoặc chỉ có dữ liệu điểm hạn chế có sẵn?
- Tích phân dao động cao: tìm kiếm các phương pháp kiểu Levin.
Khi làm việc với các điểm kỳ dị, người ta thường thích chúng ở điểm cuối của các tích phân (xem IMT, hàm mũ đôi). Nếu đây không phải là trường hợp, người ta có thể sử dụng tích hợp Clenshaw-Curtis nơi bạn nắm bắt được các điểm kỳ dị trong hàm trọng số. Người ta thường định nghĩa các dạng số ít như| x-c |- α và thiết lập các biểu thức cho các trọng số của hình cầu như là một hàm của c và α.
Khoảng tích hợp: hữu hạn, bán vô hạn hoặc vô hạn. Trong trường hợp các khoảng bán vô hạn hoặc vô hạn, chúng có thể được giảm xuống một khoảng hữu hạn bằng một phép biến đổi không? Nếu không, đa thức Laguerre hoặc Hermite có thể được sử dụng trong phương pháp bậc hai Gaussian.
Tôi không có tài liệu tham khảo cho một bảng lưu lượng thực sự cho phương trình bậc hai nói chung, nhưng cuốn sách QUADPACK (không phải các trang web Netlib, nhưng cuốn sách thực sự) có một bảng lưu lượng để chọn thói quen phù hợp dựa trên tích phân bạn muốn đánh giá. Cuốn sách cũng mô tả các lựa chọn trong các thuật toán được thực hiện bởi Piessens et al. cho các thói quen khác nhau.
Đối với các tích phân chiều thấp, người ta thường sử dụng phương trình một chiều lồng nhau. Trong trường hợp đặc biệt của tích phân hai chiều (hình khối), tồn tại các quy tắc tích hợp cho các trường hợp khác nhau của các miền tích hợp. R. Cools đã thu thập một số lượng lớn các quy tắc trong Bách khoa toàn thư về các công thức hình khối của mình và là tác giả chính của gói Cubpack . Đối với các tích phân chiều cao, người ta thường sử dụng các phương pháp kiểu Monte Carlo. Tuy nhiên, người ta thường cần một số lượng lớn các đánh giá tích phân để có được độ chính xác hợp lý. Đối với các tích phân chiều thấp, các phương pháp gần đúng như phương trình bậc hai / bậc hai / bậc hai lồng nhau thường thực hiện các phương pháp ngẫu nhiên này.
Tài liệu tham khảo thú vị chung:
- Quadpack, Piessens, Robert; de Doncker-Kapenga, Elise; Überhuber, Christoph W.; Kahaner, David (1983). QUADPACK: Gói chương trình con để tích hợp tự động. Springer-Verlag. Sê-ri 980-3-540-12553-2
- Các phương pháp tích hợp số: Ấn bản thứ hai, Ph. Davis và Ph. Rabinowitz, 2007, Sách Dover về Toán học, ISBN 976-0486453392