Những gì hiện đại trong tính toán tích phân dao động cao?

23

Điều gì là tiên tiến trong việc tính gần đúng các tích phân dao động cao ở cả hai chiều và các chiều cao hơn với độ chính xác tùy ý?

quadrature precision numerical-analysis

— Tứ giác
nguồn

Thật tệ .. không có phương pháp chung nào cho đến nay .. Chỉ cần nhiều nỗ lực nhưng mong họ thất bại ngay bây giờ và sau đó ... Một số bài báo cho rằng họ có giải độc đắc, nhưng khi nó nghe có vẻ quá tốt ... thì đúng là như vậy.

@Gigi: Chào mừng bạn đến với SciComp! Nhận xét của bạn hơi mơ hồ; bạn có thể giải thích lý do tại sao bạn nghĩ rằng trạng thái của nghệ thuật trong xấp xỉ các tích phân dao động cao là xấu?

— Geoff Oxberry

Chà, thực sự đúng là chưa có "viên đạn ma thuật" nào trong tính toán của các tích phân dao động cao, nhưng chúng tôi làm được với những gì chúng tôi có, và chúng tôi luôn biết ơn nếu chúng hoạt động.

— JM

19

Tôi không hoàn toàn quen thuộc với những gì hiện được thực hiện cho hình khối (tích hợp đa chiều), vì vậy tôi sẽ giới hạn bản thân trong các công thức bậc hai.

Có một số phương pháp hiệu quả cho phương trình tích phân dao động. Có những phương pháp phù hợp với tích phân dao động hữu hạn, và có những phương pháp cho tích phân dao động vô hạn.

Đối với các tích phân dao động vô hạn, hai trong số các phương pháp hiệu quả hơn được sử dụng là phương pháp Longman và phương pháp hàm mũ đôi được sửa đổi do Ooura và Mori. (Nhưng cũng xem hai bài báo này của Arieh Iserles.)

Phương pháp của Longman dựa vào việc chuyển đổi tích phân dao động thành một chuỗi xen kẽ bằng cách chia khoảng thời gian tích hợp, sau đó tính tổng chuỗi xen kẽ với phương pháp biến đổi trình tự. Chẳng hạn, khi tích hợp một tích phân dao động của mẫu

\int_{0}^{\infty} f (t) tội t d t

$\int_0^\infty f(t)\sin\,t\mathrm dt$

người ta chuyển đổi nó thành tổng xen kẽ

Σ_{k = = 0}^{\infty} \int_{k π}^{(k + 1) π} f (t) tội t d t

$\sum_{k=0}^\infty \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} f(t)\sin\,t\mathrm dt$

Các thuật ngữ của tổng xen kẽ này được tính toán với một số phương pháp bậc hai như sơ đồ của Romberg hoặc phương trình bậc hai Gaussian. Phương pháp ban đầu của Longman đã sử dụng phép biến đổi Euler , nhưng các triển khai hiện đại thay thế Euler bằng các phương thức gia tốc hội tụ mạnh hơn như biến đổi Shanks hoặc biến đổi Levin .

Các đôi vuông góc mũ phương pháp, mặt khác, tạo ra một sự thay đổi thông minh của các biến, và sau đó sử dụng các quy tắc hình thang để về số đánh giá tích chuyển đổi.

Đối với các tích phân dao động hữu hạn, Piessens (một trong những người đóng góp của QUADPACK) và Branders, trong hai bài báo , nêu chi tiết một sửa đổi của phương pháp bậc hai Clenshaw-Curtis (nghĩa là xây dựng một phần mở rộng đa thức Chasershev của phần không phụ thuộc của tích phân). Mặt khác, phương pháp của Levin sử dụng phương pháp sắp xếp thứ tự cho phương trình bậc hai. (Tôi được biết hiện tại đã có phiên bản thực tế hơn của chế độ chờ cũ, phương pháp của Filon, nhưng tôi chưa có kinh nghiệm với nó.)

Đây là những phương pháp tôi nhớ bằng tay; Tôi chắc chắn tôi đã quên các phương pháp tốt khác cho tích phân dao động. Tôi sẽ chỉnh sửa câu trả lời này sau nếu tôi nhớ chúng.

— JM
nguồn

11

$\sin(t)$ $\exp(it)$ $J_0(t)$ $\exp(i g(t))$ $w(t)$

Lúc đầu, các phương pháp tích hợp dao động tập trung vào các bộ dao động cụ thể. Như JM đã nói, những phương pháp nổi bật bao gồm phương pháp của Filon và phương pháp Clenshaw-Curtis (hai phương pháp này có liên quan chặt chẽ với nhau) cho các tích phân phạm vi hữu hạn và các phương pháp dựa trên phép ngoại suy chuỗi và phương pháp lũy thừa kép của Ooura và Mori cho các tích phân phạm vi vô hạn.

Gần đây, một số phương pháp chung đã được tìm thấy. Hai ví dụ:

$\exp(i g(t))$ $w(t)$
Phương pháp của Huybrechs và Vandewalle dựa trên sự tiếp tục phân tích dọc theo một con đường phức tạp trong đó tích phân là không dao động ( Huybrechs và Vandewalle 2006 ).

Không cần phân biệt giữa các phương pháp cho tích phân phạm vi hữu hạn và vô hạn đối với các phương pháp tổng quát hơn, vì một phép biến đổi rút gọn có thể được áp dụng cho tích phân phạm vi vô hạn, dẫn đến tích phân dao động trong phạm vi hữu hạn vẫn có thể được xử lý bằng phương pháp chung, mặc dù với Một dao động khác nhau.

Phương pháp của Levin có thể được mở rộng ra nhiều chiều bằng cách lặp qua các chiều và các cách khác, nhưng theo tôi biết tất cả các phương pháp được mô tả trong tài liệu cho đến nay đều có các điểm mẫu là sản phẩm bên ngoài của các điểm mẫu một chiều hoặc một số thứ khác phát triển theo cấp số nhân với kích thước, vì vậy nó nhanh chóng vượt khỏi tầm tay. Tôi không biết các phương pháp hiệu quả hơn cho kích thước cao; nếu có thể tìm thấy mẫu đó trên một lưới thưa thớt ở kích thước cao thì nó sẽ hữu ích trong các ứng dụng.

Tạo các thói quen tự động cho các phương thức tổng quát hơn có thể khó khăn trong hầu hết các ngôn ngữ lập trình (C, Python, Fortran, v.v.) mà bạn thường mong muốn lập trình tích phân của mình như một hàm / thường trình và chuyển nó sang thường trình tích hợp, bởi vì càng nhiều các phương pháp chung cần biết cấu trúc của integrand (phần nào trông dao động, loại dao động nào, v.v.) và không thể coi nó là "hộp đen".

— Andrew Moylan
nguồn

Tờ báo Huybrechs / Vandewalle là thứ tôi chưa từng thấy, vì vậy +1 cho điều đó. Nó trông giống như nghiên cứu được thực hiện bởi Temme và những người khác để đánh giá các chức năng đặc biệt, ngoại trừ việc mở rộng tiệm cận không liên quan đến Huybrechs / Vandewalle. Ngoài ra, tôi nghĩ rằng một cách tiếp cận tương tự đã được thực hiện cho vấn đề đầu tiên về thử thách trăm chữ số của Trefethen bởi một vài người giải quyết.

— JM

2

Bạn cũng có thể kiểm tra tác phẩm của Marnix Van Daele và các đồng tác giả. Xem ví dụ này và này .

— GertVdE
nguồn