Làm thế nào để xây dựng khối lượng hữu hạn cân bằng tốt và các phương pháp Galerkin không liên tục cho các PDE hyperbol với các thuật ngữ nguồn?

Các thuật ngữ nguồn, chẳng hạn như các thuật ngữ do độ sâu trong các phương trình nước nông, cần được tích hợp theo một cách đặc biệt để duy trì trạng thái ổn định vật lý. Có một cách chung để xây dựng các phương pháp cân bằng tốt, hay nó đòi hỏi các kỹ thuật đặc biệt cho mỗi phương trình?

Câu trả lời ngắn gọn là: nó đòi hỏi công việc cụ thể cho các phương trình khác nhau, nhưng có một số kỹ thuật chung gợi ý cách thực hiện. Về cơ bản, đưa ra một tiến hóa PDE đầu tiên

$A,B$

$A$$B$được rời rạc theo những cách khác nhau. Sau đó, sẽ có các lỗi cắt ngắn liên quan đến từng lỗi này và các lỗi cắt ngắn thường sẽ không hủy ngay cả trong trường hợp trạng thái ổn định. Một ví dụ cổ điển (như đã đề cập trong câu hỏi) là các phương trình nước nông với độ sâu, trong đó$A$ đại diện cho các điều khoản đối lưu và $B$đại diện cho động lượng cưỡng bức do chiều cao đáy thay đổi. Có nhiều bài báo được xuất bản trong vài năm qua đưa ra những cách khác nhau để duy trì chính xác các giải pháp trạng thái ổn định.

Một cách tiếp cận mà tôi thích là sử dụng bộ giải Riemann sóng f theo đề xuất của Bale et. al. . Ý tưởng là để phân biệt các thuật ngữ đối lưu bằng phương pháp kiểu Godunov, nhưng trừ đi sự đóng góp từ các thuật ngữ khác trong bộ giải Riemann. Sau đó, trong trường hợp trạng thái ổn định, không có sóng được tạo ra. Tuy nhiên, điều này đòi hỏi các thuật ngữ đối lưu và nguồn phải được tính toán chính xác (để hủy bỏ chính xác). Điều đó có thể đối với các phương trình nước nông, nhưng khó khăn hơn đối với nhiều hệ thống khác.