Các sơ đồ số có thể cho một phương trình khuếch tán với một thuật ngữ phản ứng phi tuyến là gì?

Đối với một số miền lồi đơn giản trong 2D, chúng ta có một số thỏa mãn phương trình sau: với một số điều kiện biên Dirichlet và / hoặc Neumann nhất định. Theo hiểu biết của tôi, áp dụng phương pháp của Newton trong một không gian phần tử hữu hạn sẽ là một cách tương đối đơn giản để giải quyết số lượng phương trình này. $\Omega$ $u(x)$

- d i v (A \nabla u) + c u^{n} = f

$-\mathrm{div}(A\nabla u)+cu^n = f$

Câu hỏi của tôi là: (1) Có một lý thuyết Sobolev cho tính hợp lý của công thức biến đổi tương ứng của phương trình này với giả sử điều kiện biên Dirichlet bằng không? Nếu vậy, không gian Banach chúng ta nên xem xét? (2) Các phương pháp số có thể có cho loại phương trình này là gì?

pde finite-element

— Thư Giới
nguồn

Bằng "phương pháp số có thể", bạn có hỏi về sự rời rạc hoặc người giải đại số không?

— Jed Brown

Tôi thấy hai cách tiếp cận:

1) Tùy ý f (u). Đơn giản chỉ cần đặt f ~ f (u0) ở phía bên phải của phương trình, tiến hành với bất kỳ bộ giải phi tuyến tính nào, sơ đồ điểm cố định là một lựa chọn tốt, vì dù sao bạn cũng không có Jacobian. Dễ dàng nhất để thực hiện và sử dụng, hầu hết nói chung, nhưng có thể kém hiệu suất, bởi vì Jacobian không thể được khai thác (thường không rõ).

2) f (u) bị phân hủy thành chuỗi (đa thức, Fourier). Khó thực hiện và sử dụng hơn, có thể khó / không thể đối với một số f đặc biệt. Nhưng đổi lại, bạn có thể tính toán và khai thác Jacobian theo phương pháp giống như Newton, điều này thường sẽ mang lại hiệu suất vượt trội.

— Dominik Lark
nguồn

f

$f$

u

$u$

u^{n}

$u^n$

Bạn nên thêm u ^ n vào f. Sau đó, bạn có một dạng đa thức đơn giản của thuật ngữ phản ứng được xử lý tốt nhất với phương pháp 2).

— Dominik Lark