Có các phương pháp phân tách toán tử cho các PDE đa vật lý đạt được sự hội tụ bậc cao không?

16

Đưa ra một PDE tiến hóa

{bạn}_{t} = = Một bạn + B bạn

$u_t = Au + Bu$

Trong đó là các toán tử vi phân (có thể là phi tuyến) không đi lại, một cách tiếp cận số phổ biến là xen kẽ giữa việc giải $A,B$

{bạn}_{t} = = Một bạn

$u_t = Au$

và

{bạn}_{t} = = B bạn .

$u_t = Bu.$

Việc thực hiện đơn giản nhất này được gọi là chia tách Godunov và là chính xác bậc 1. Một cách tiếp cận nổi tiếng khác, được gọi là tách lạ, là chính xác bậc 2. Các phương pháp phân tách toán tử bậc cao hơn (hoặc các phương pháp phân tách đa vật lý thay thế) có tồn tại không?

pde multiphysics operator-splitting

— David Ketcheson
nguồn

1

Là các điều khoản cứng hoặc không cứng? Bạn có hàm áp dụng A và B không, hay bạn chỉ có một thuật toán tiến trạng thái từ

lên

? Trong trường hợp một người cứng và một người không cứng, có nhiều phương pháp thú vị.

t^{n}

$t^n$

t^{n + 1}

$t^{n+1}$

— Jed Brown

7

Theo hiểu biết của tôi, công thức BCH là một cách có hệ thống để tính gần đúng số mũ của ma trận của hai ma trận không giao hoán.

— Matt Knepley
nguồn

Nhưng điều đó không dẫn đến các điều khoản phức tạp ngay cả khi PDE là có thật? Có phải mọi người sử dụng nó cho sự phân biệt thứ tự cao hơn thứ 2?

— David Ketcheson

1

Không phải từ bộ nhớ của tôi (hoặc trang web). Nó dẫn đến rất nhiều cổ góp. Trong cơ thể lượng tử, có nhiều cách đơn giản hóa các biểu thức này.

— Matt Knepley

7

Nếu bạn xem xét các toán tử chung A và B và nếu bạn chỉ muốn thực hiện các bước thời gian tích cực (đó là những gì bạn thường yêu cầu khi giải các bài toán parabol), có một rào cản thứ tự là 2, tức là sử dụng bất kỳ loại chia tách nào, bạn không thể có được tỷ lệ hội tụ cao hơn hai. Một bằng chứng cơ bản được đưa ra trong một bài báo gần đây của S. Blanes và F. Casas, http://www.gicas.uji.es/Fernando/MyPapers/2005APNUM.pdf .

Tuy nhiên, có một số cách nếu bạn biết thêm một chút về vấn đề của mình:

Giả sử rằng bạn có thể giải quyết các phương trình ngược thời gian (thường thấy đối với phương trình Schrödinger), sau đó có rất nhiều phép nối có sẵn, xem cuốn sách "Tích hợp số hình học" của Hairer, Lubich và Wanner.
Nếu các toán tử của bạn tạo các nhóm bán phân tích, nghĩa là, bạn có thể chèn các giá trị phức cho t (điển hình cho phương trình parabol), gần đây bạn đã nhận thấy rằng bạn có thể có được các phép chia bậc cao hơn bằng cách đi vào mặt phẳng phức. Các bài viết đầu tiên theo hướng đó là của E. Hansen và A. Ostermann, http://www.maths.lth.se/na/staff/eskil/dataEskil/articles/Complex.pdf và F. Castella, P. Chartier , S. Descombes và G. Vilmart. Sự lựa chọn của mối nối phức tạp là "tối ưu" trong một số ý nghĩa là một chủ đề của nghiên cứu hiện tại, bạn có thể tìm thấy một số bài viết về chủ đề này trên arxiv.

Tóm tắt: Nếu bạn đưa ra một số giả định về vấn đề của mình, bạn có thể nhận được một cái gì đó, nhưng nếu không, thì thứ tự 2 là tối đa.

Tái bút: Tôi đã phải lấy liên kết đến Castella et al-paper do phòng chống thư rác, nhưng bạn có thể dễ dàng tìm thấy nó trên google.

— Philipp Dörsek
nguồn

5

Nhóm CCSE tại LBNL gần đây đã sử dụng các phương pháp Spectral Deferred Correction (SDC) trong một luồng số mach thấp với hóa học phức tạp. Họ so sánh kết quả SDC với phân tách Strang và kết quả rất hứa hẹn.

Dưới đây là một bản thảo với các chi tiết: Chiến lược khớp nối hoãn lại cho dòng chảy số Mach thấp với hóa học phức tạp

Lưu ý rằng sơ đồ SDC là một sơ đồ lặp, hội tụ đến một giải pháp sắp xếp chính xác theo thứ tự cao, nhưng nó được xây dựng từ các phương thức bậc nhất.

— Matthew Emmett
nguồn

2

Lỗi chia tách có thể, ít nhất là về nguyên tắc, có thể được giảm bằng các phương pháp hiệu chỉnh quang phổ. Tuy nhiên, đây dường như là một lĩnh vực nghiên cứu tích cực và không thực sự là thứ gì đó sẵn sàng cho sử dụng chung.

— Brian
nguồn

2

Một tài nguyên mới cho các sơ đồ phân chia thứ tự cao liệt kê khá nhiều thứ có thể được tìm thấy ở đây:

http://www.asc.tuwien.ac.at/~winfried/splits/

— David Ketcheson
nguồn