Làm thế nào để rút ra công thức yếu của phương trình vi phân từng phần cho phương pháp phần tử hữu hạn?

Tôi đã giới thiệu cơ bản về Phương pháp phần tử hữu hạn, không nhấn mạnh đến sự hiểu biết tinh vi về một "công thức yếu". Tôi hiểu rằng với phương pháp galerkin, chúng tôi nhân cả hai mặt của PDE (elip) bằng một hàm kiểm tra và sau đó tích hợp (theo các phần hoặc theo định lý Divergence). Đôi khi, tôi cần phải tích hợp bởi các phần hai lần trước khi đến công thức yếu thích hợp (dựa trên câu trả lời ở mặt sau của cuốn sách). Nhưng khi tôi cố gắng áp dụng khái niệm tương tự cho các PDE khác (giả sử, chúng vẫn độc lập với thời gian), tôi dường như không thể nhận ra khi nào công thức phù hợp để phân biệt. Có "cờ đỏ" nào có thể cho tôi biết rằng MẪU NÀY có thể được rời rạc thành một hệ phương trình tuyến tính không?

Hơn nữa, làm thế nào để tôi chọn một tập hợp các hàm cơ sở thích hợp?

Hãy tự hỏi mình như sau:

Đầu tiên, làm thế nào để tích hợp bởi các bộ phận ảnh hưởng đến khả năng giải quyết vấn đề và không gian của các giải pháp?

Thứ hai, đối với không gian chức năng nào bạn có thể xây dựng một loạt các không gian con (các chức năng ansatz) mà bạn có thể thực hiện?

f ∈ L 2 [ 0 , 1 ] L 2 φ ∈ L $u'' = f$$f \in L^2$$[0,1]$$L^2$$\phi \in L^2$

φ ↦ ∫ f φ d $\phi \mapsto \int u'' \phi dx$ và$\phi \mapsto \int f \phi dx$

Vì bất kỳ chức năng trong có thể -approximated bởi các chức năng mượt mà với sự hỗ trợ nhỏ gọn, cả hai functionals không thể thiếu được hoàn toàn biết nếu bạn chỉ biết các giá trị cho tất cả các chức năng kiểm tra. Nhưng với các chức năng kiểm tra, bạn có thể thực hiện tích hợp theo các bộ phận và chuyển đổi phía bên trái sang chức năngL $L^2$$L^2$

$\phi \mapsto -\int u' \phi' dx$

Đọc phần này dưới dạng: "Tôi lấy một hàm kiểm tra , tính toán vi phân của nó và tích hợp nó với -u 'trên [0,1] và trả về cho bạn kết quả." Nhưng chức năng đó không được xác định và giới hạn trên , vì bạn không thể lấy vi phân của hàm tùy ý . Nhìn chung chúng có thể trông cực kỳ lạ.L 2 L $\phi$$L^2$$L^2$

Tuy nhiên, chúng tôi vẫn quan sát thấy rằng chức năng này có thể được mở rộng đến không gian Sobolev và thậm chí nó còn là chức năng giới hạn trên . Điều đó có nghĩa là, được đưa ra , bạn có thể ước tính gần đúng giá trị của bằng bội số của -norm của . Và, hơn nữa, chức năng , tất nhiên, không chỉ được định nghĩa và giới hạn trên , mà còn được xác định và giới hạn trên .$H^1$$H_0^1$$\phi \in H_0^1$$\int -u' \phi' dx$$H_0^1$$\phi'$$\phi \mapsto \int f \phi dx$$L^2$$H_0^1$

Bây giờ bạn có thể, ví dụ, áp dụng bổ đề Lax-Milgram, như nó được trình bày trong bất kỳ cuốn sách PDE nào. Một cuốn sách yếu tố hữu hạn cũng mô tả nó, chỉ với phân tích chức năng, ví dụ như cuốn sách kinh điển của Ciarlet, hoặc cuốn sách khá mới của Braess.

Bổ đề Lax-Milgram cung cấp cho người PDE một công cụ tuyệt vời để phân tích thuần túy, nhưng họ sử dụng nhiều công cụ lạ cũng như mục đích của họ. Tuy nhiên, các công cụ này cũng có liên quan đến các phân tích số, bởi vì trên thực tế bạn có thể xây dựng một sự riêng biệt cho các không gian này.

Ví dụ: để có không gian con riêng biệt của , chỉ cần thực hiện các chức năng mũ. Họ không có những bước nhảy và khác biệt. Sự khác biệt của chúng là một trường vectơ không đổi piecewise. Cấu trúc này hoạt động trong , cũng tốt, nhưng bạn có thể tạo ra một không gian ansatz có chức năng không chỉ có một độ dốc (nghĩa là đẹp, có thể tích hợp hình vuông), mà còn độ dốc của ai đã lần lượt phân kỳ? (một lần nữa, vuông tích hợp). Đó là khá khó khăn nói chung.$H_0^1$$d=1,2,3,...$

Vì vậy, lý do nói chung về cách bạn xây dựng các công thức yếu là vì bạn muốn áp dụng bổ đề Lax-Milgram và để có một công thức sao cho các hàm trên thực tế có thể được thực hiện. (Đối với bản ghi, Lax-Milgram không phải là từ cuối cùng trong ngữ cảnh đó, cũng không phải là ansatz là từ cuối cùng trong sự rời rạc, xem, ví dụ, các phương pháp Galerkin không liên tục.)$H_0^1$

Đối với trường hợp điều kiện biên hỗn hợp, không gian thử nghiệm tự nhiên có thể khác với không gian tìm kiếm của bạn (trong cài đặt phân tích), nhưng tôi không biết làm thế nào để mô tả điều đó mà không đề cập đến lý thuyết phân phối, vì vậy tôi dừng lại ở đây. Tôi hy vọng điều này là hữu ích.