Sự khác biệt hữu hạn trên các miền có ranh giới không đều

Ai đó có thể giúp tôi tìm các cuốn sách về các giải pháp số (phương sai hữu hạn và phương pháp Crank không Nicolson) của phương trình Poisson và khuếch tán bao gồm các ví dụ về hình học không đều, chẳng hạn như một miền bao gồm khu vực giữa hình chữ nhật và hình tròn (đặc biệt là sách hoặc liên kết trên ví dụ mã MATLAB trong trường hợp này)?

Chìa khóa để thực hiện sơ đồ sai phân hữu hạn hoạt động trên hình học không đều là có ma trận "hình dạng" với các giá trị biểu thị các điểm bên ngoài, bên trong và trên ranh giới của miền. Nói rằng chúng tôi đã có một hình dạng như thế này:

$$\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{matrix}$$

Tên miền thực (trong đó tất cả các mục nhập khác không của ma trận) tạo thành một hình tam giác hướng xuống dưới. Số 1 đại diện cho các điểm trên đường biên, trong khi 2 là đại diện cho các điểm bên trong (thường không được biết đến) Chúng ta có thể gán các số nút như sau:

$$\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 7 & 8 & 9 & 10 & -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 11 & 12 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{matrix}$$

Ở đây, -1 đại diện cho các vị trí biên. Sau đó, bạn có thể chạy sơ đồ sai phân hữu hạn trên tất cả các mục trong ma trận, nhưng sử dụng câu lệnh if để thực hiện lược đồ của bạn chỉ trên các nút bên trong (từ 1 đến 12). Cách tiếp cận này không phải là cách hiệu quả nhất để thực hiện, nhưng nó sẽ hoàn thành công việc ... nếu bạn có đủ khả năng cho bộ nhớ, có thể tốt để lưu trữ các mục (i, j) của tất cả các nút bên trong và chạy một vòng lặp for chỉ trên các nút đó.

Để tạo hình học trực tiếp, bạn có thể thực hiện một trong hai điều sau:
1. Tạo hình ảnh đen trắng theo cách thủ công và nhập nó vào chương trình của bạn (dễ thực hiện nhất, nhưng không thể tinh chỉnh độ phân giải không gian dx hoặc dy của bạn).
2. Viết mã sẽ tạo ra các biểu diễn riêng biệt của các hình dạng cơ bản mà bạn muốn cho bất kỳ độ phân giải không gian nào bạn chọn (khó thực hiện hơn, nhưng mạnh mẽ hơn đối với các sơ đồ sai phân hữu hạn chung của bất kỳ độ phân giải không gian dx hoặc dy).

Nếu bạn muốn tìm hiểu thêm về cách thực hiện việc này, bạn có thể muốn xem xét các video này:
Khóa học đồ họa máy tính NPTEL, Video 2 (Đồ họa raster)
Khóa học đồ họa máy tính NPTEL, Video 3 (Đồ họa raster, tiếp tục)
Hãy xem chúng và cho tôi biết nếu điều này giải quyết câu hỏi của bạn.

Tôi nghĩ rằng một cuốn sách hay ngay từ đầu là cuốn sách của Hackbusch:

http://books.google.com.vn/books/about/Elliptic_differential_equations.html?id=-ZPc_JYJFHgC&redir_esc=y

Đặc biệt ch. 4.8, "Phân biệt đối xử trong một miền tùy ý" có thể thú vị đối với bạn. Phiên bản tiếng Đức của cuốn sách đó có thể được tải xuống miễn phí (về mặt pháp lý). Tôi không biết liệu điều này có đúng với phiên bản tiếng Anh không.

Tôi muốn đề nghị các giấy tờ sau đây:

Phương pháp sai phân hữu hạn tại các lưới không đều tùy ý và ứng dụng của nó trong cơ học ứng dụng - Liszka Orkisz

http://www.scTHERirect.com/science/article/pii/0045794980901492

Kỹ thuật khác biệt hữu hạn cho lưới biến - Jensen

http://www.mendeley.com/research/finite-difference-techniques-variable-grids-7/

Giải phương trình parabol và hyperbolic bằng phương pháp sai phân hữu hạn tổng quát - Benito Urena Gavete

http://www.scTHERirect.com/science/article/pii/S037704270600687X

Về cơ bản, họ mô tả làm thế nào để tạo ra sự khác biệt hữu hạn cho các mắt lưới không cấu trúc / không đều. Tôi không biết bất kỳ cuốn sách nào chuyên sâu về chủ đề cụ thể này, nhưng cuốn sách của Randall LeVeque có thể có một cái gì đó về nó. Đây là liên kết cho trang web của tác giả, trong đó có một số tệp m Matlab cho sự khác biệt hữu hạn.

http://facemony.washington.edu/rjl/booksnotes.html

Tôi nghĩ rằng làm cho lưới phù hợp với ranh giới và do đó, việc rời khỏi lưới vuông tiêu chuẩn của fdm có lẽ là một giải pháp nhưng tuy nhiên có ý nghĩa nghiêm trọng đối với việc sử dụng các thuật toán bậc cao - khó nếu không nói là không thể. Tôi đã thực hiện một cách tiếp cận khác, cụ thể là giữ lưới hình chữ nhật trên hình dạng đường biên cong, tạo các thuật toán bậc cao, nội suy từ đường biên để đặt các giá trị "bên ngoài" hình học, và đó là tất cả. chúng tôi đã đạt được các giới hạn trong hình học kiểm tra hình cầu đồng tâm ~ 1e-12 với phương pháp này bằng thuật toán thứ tự 8. nếu bạn sẽ google "Edwards, fdm cong ranh giới", bạn sẽ tìm thấy tài liệu tham khảo cho công việc của tôi.

Bạn có thể sử dụng sàng lọc lưới thích ứng không? Một tìm kiếm nhanh của Google sẽ xuất hiện rất nhiều liên kết. AMR được sử dụng, ví dụ, trong động lực học chất lỏng để mô hình hóa dòng chảy qua các hình dạng phức tạp; cũng như nhiều ứng dụng khác. Dưới đây là một ví dụ về việc giải quyết các hệ thống của các định luật bảo tồn hyperbol phát sinh trong quá trình hình thành sao. Hình học rất phức tạp. Phần đầu tiên của bài báo là một hướng dẫn tốt đẹp. http://www.mpa-garching.mpg.de/lectures/ADSEM/SS05_Homann.pdf

Câu hỏi này mở ra một lon giun, như được làm rõ bằng nhiều câu trả lời được đưa ra. Nhiều trong số này đưa ra những điểm hữu ích, nhưng một câu trả lời thực sự hữu ích sẽ tính đến những cân nhắc chưa được nêu ra. Ngoài việc làm cụ thể tính chất chính xác của hình học, sẽ rất có giá trị khi biết a) Bạn cần loại chính xác nào? b) Bạn có muốn ở lại với lưới vuông thông thường? c) Bạn sẵn sàng đầu tư bao nhiêu vào việc học công nghệ mới?

Các lưới vuông thông thường làm cho khó xác định chính xác ranh giới, do đó nhiều người thay đổi thành các lưới phù hợp. Các mắt lưới phù hợp với kết nối hình chữ nhật gặp khó khăn khi khớp với các hình dạng rất bất thường, vì vậy nhiều người chấp nhận các mắt lưới không có cấu trúc (hình tam giác / tetraheda hoặc tổng quát hơn).

Đối với bất kỳ dữ liệu nào không có cấu trúc cartes thông thường, rất khó để đánh giá các dẫn xuất, vì vậy nhiều người cải tổ các vấn đề của họ ở dạng tích phân, dẫn đến các phương pháp phần tử hữu hạn / hữu hạn (có thể đạt được thứ tự cao). Có phương pháp không có lưới. Có các phương pháp phần tử biên. Có những phương pháp ranh giới đắm chìm. Có phương pháp cắt tế bào. Thường có một phương pháp phổ biến trong một số ứng dụng nhưng không phải trong các ứng dụng khác, vì những lý do chủ yếu mang tính lịch sử.

Tôi chúc bạn may mắn trong việc điều hướng mê cung này, nhưng bạn phải nhận ra rằng không có giải pháp một kích cỡ phù hợp cho câu hỏi của bạn.