Có bất kỳ lợi thế số nào trong việc giải ma trận đối xứng so với ma trận không đối xứng?

Tôi đang áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn cho hệ 3 phương trình ghép. Hai trong số các phương trình không được ghép với nhau, tuy nhiên phương trình thứ ba kết hợp với cả hai phương trình kia. Tôi nhận thấy rằng bằng cách thay đổi thứ tự của các phương trình, hãy nói từ thành rằng ma trận hệ số trở thành đối xứng.$(x, y, z)$$(x, z, y)$

Có bất kỳ lợi thế để làm điều này? Ví dụ, về tính ổn định hoặc hiệu quả / tốc độ của giải pháp. Các ma trận rất thưa thớt, nếu điều đó quan trọng, các số hạng khác không nằm dọc theo các đường chéo trung tâm.

Chắc chắn rồi!

Trước hết, một số hệ thống đại số tuyến tính đủ thông minh để chỉ lưu trữ một nửa ma trận, điều này có thể giúp bạn tiết kiệm một loạt bộ nhớ. Nhưng ngay cả khi điều này không đúng, các thuật toán khác nhau trong đại số tuyến tính số sẽ khai thác tính đối xứng.

Ví dụ, được đưa ra một ma trận đối xứng, bất kỳ eigensolver nào cũng sẽ biết ngay rằng tất cả các giá trị riêng đều có giá trị thực và phương pháp giải có thể sử dụng thực tế đó.

$Ax=b$

$A=LU$$L$$U$$A$$A=LL^T$