Là nguyên tắc tối đa / tối thiểu của phương trình nhiệt được duy trì bởi sự rời rạc của Crank-Nicolson?

10

Tôi đang sử dụng sơ đồ sai phân hữu hạn Crank-Nicolson để giải phương trình nhiệt 1D. Tôi tự hỏi nếu nguyên tắc tối đa / tối thiểu của phương trình nhiệt (nghĩa là tối đa / tối thiểu xảy ra ở điều kiện ban đầu hoặc trên các ranh giới) cũng áp dụng cho giải pháp rời rạc.

Điều này có lẽ được ngụ ý bởi thực tế rằng Crank-Nicolson là một sơ đồ ổn định và hội tụ. Nhưng có vẻ như bạn có thể chứng minh điều này trực tiếp thông qua một đối số đại số tuyến tính bằng cách sử dụng các ma trận được tạo ra từ khuôn tô Crank-Nicolson.

Tôi đánh giá cao bất kỳ con trỏ đến văn học về điều này. Cảm ơn.

— foobarbaz
nguồn

Xin chào foobarbaz, và chào mừng bạn đến với scicomp! Tôi cho rằng vấn đề bạn đang giải quyết không có thuật ngữ nguồn, đúng không?

— Paul

8

Nguyên tắc tối đa cho Crank-Nicolson sẽ giữ nếu cho dấu thời gian và khoảng cách lưới . Nói chung, chúng ta có thể xem xét một -scheme có dạng trong đó là ma trận Laplacian tiêu chuẩn và . Nếu , thì sơ đồ ổn định. (Điều này có thể dễ dàng được hiển thị bằng các kỹ thuật Fourier.) Tuy nhiên, tiêu chí mạnh hơn là là cần thiết cho nguyên tắc tối đa nói chung.

μ ≐ \frac{k}{h^{2}} \leq 1

$\mu \doteq \frac{k}{h^2} \leq 1$

k

$k$

h

$h$

θ

$\theta$

u^{n + 1} = u^{n} + \frac{μ}{2} ((1 - θ) A u^{n} + θ A u^{n + 1})

$u^{n+1} = u^n + \frac{\mu}{2}\left( (1-\theta)Au^n + \theta Au^{n+1}\right)$

A

$A$

0 \leq θ \leq 1

$0 \leq \theta \leq 1$

μ (1 - 2 θ) \leq \frac{1}{2}

$\mu(1-2\theta) \leq \frac{1}{2}$

μ (1 - θ) \leq \frac{1}{2}

$\mu(1-\theta) \leq \frac{1}{2}$

Để biết bằng chứng, hãy xem Giải pháp số phương trình vi phân từng phần của KW Morton . Cụ thể, hãy xem Phần 2.10 và 2.11 và Định lý 2.2.

Cũng có một cách hay để thấy rằng nguyên tắc tối đa sẽ không áp dụng chung cho Crank-Nicolson mà không bị ràng buộc với . $\mu$

Xét phương trình nhiệt trên với sự rời rạc chứa 3 điểm, bao gồm cả đường biên. Đặt biểu thị sự rời rạc tại dấu thời gian và điểm lưới . Giả sử ranh giới Dirichlet, sao cho với mọi . Sau đó, Crank-Nicolson giảm xuống có thể giảm thêm thành $[0,1]$ $u_i^k$ $k$ $i$ $u^k_0 = u^k_2 = 0$ $k$

(1 - \frac{μ}{2} (- 2)) u_{1}^{n + 1} = (1 + \frac{μ}{2} (- 2)) u_{1}^{n},

$\left(1 - \frac{\mu}{2}(-2)\right)u^{n+1}_1 = \left(1 + \frac{\mu}{2}(-2)\right)u^n_1,$

u_{1}^{n + 1} = (\frac{1 - μ}{1 + μ}) u_{1}^{n} .

$u^{n+1}_1 = \left(\frac{1-\mu}{1+\mu}\right)u^n_1.$

Nếu chúng tôi xem xét điều kiện ban đầu của , thì chúng tôi có và mặc dù vậy nó sẽ luôn là trong trường hợp , dù sao chúng ta cũng sẽ có cho lẻ trừ khi . Do đó, nguyên tắc tối đa / tối thiểu bị vi phạm trừ khi . Điều này đặc biệt đáng chú ý trong bối cảnh thực tế là Crank-Nicolson ổn định cho mọi . $u_1^0 = 1$

u_{1}^{n} = {(\frac{1 - μ}{1 + μ})}^{n},

$u^n_1 = \left(\frac{1-\mu}{1+\mu}\right)^n,$

u_{1}^{n} \leq 1

$u^n_1 \leq 1$

u_{1}^{n} < 0

$u^n_1 < 0$

n

$n$

μ \leq 1

$\mu \leq 1$

μ \leq 1

$\mu \leq 1$

μ

$\mu$

Đáp lại yêu cầu của foobarbaz, tôi đã thêm một bản phác thảo bằng chứng.

Điều quan trọng là viết sơ đồ ở dạng

\begin{aligned} (1 + 2 θ μ) u_{j}^{n + 1} & = θ μ (u_{j - 1}^{n + 1} + u_{j + 1}^{n + 1}) \\ + (1 - θ) μ (u_{j - 1}^{n} + u_{j + 1}^{n}) \\ + [1 - 2 (1 - θ) μ] u_{j}^{n} \end{aligned}

$\begin{align*} (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j &= \theta\mu(u^{n+1}_{j-1} + u^{n+1}_{j+1})\\ &+ (1-\theta)\mu(u^n_{j-1} + u^n_{j+1})\\ &+ [1-2(1-\theta)\mu]u^n_j \end{align*}$

Giả thuyết cho rằng hoàn toàn tương đương với thực tế là tất cả các hệ số trên đều không âm. $\mu(1-\theta)\leq \frac{1}{2}$

Bây giờ giả sử rằng mức tối đa đạt được tại một điểm bên trong . Lưu ý rằng tất cả các , , , , nhỏ hơn hoặc bằng theo giả định. Nếu bất kỳ giá trị nào trong số này nhỏ hơn , thì đẳng thức trên và độ không âm của các hệ số ngụ ý rằng $u^{n+1}_j$ $u^{n+1}_{j-1}$ $u^{n+1}_{j+1}$ $u^n_{j-1}$ $u^n_{j+1}$ $u^n_j$ $u^{n+1}_j$ $u^{n+1}_j$

\begin{aligned} (1 + 2 θ μ) u_{j}^{n + 1} & > θ μ (u_{j - 1}^{n + 1} + u_{j + 1}^{n + 1}) \\ + (1 - θ) μ (u_{j - 1}^{n} + u_{j + 1}^{n}) \\ + [1 - 2 (1 - θ) μ] u_{j}^{n} \\ = (1 + 2 θ μ) u_{j}^{n + 1} \end{aligned}

$\begin{align*} (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j &> \theta\mu(u^{n+1}_{j-1} + u^{n+1}_{j+1})\\ &+ (1-\theta)\mu(u^n_{j-1} + u^n_{j+1})\\ &+ [1-2(1-\theta)\mu]u^n_j\\ &= (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j \end{align*}$

đó là một mâu thuẫn. Theo sau đó, mức tối đa cũng phải đạt được ở tất cả các lân cận không gian và thời gian của , và một đối số kết nối sau đó ngụ ý rằng sự rời rạc của phải không đổi trong không gian và thời gian, sao cho tối đa vẫn đạt được trên ranh giới. Lưu ý rằng đối số kết nối này phản ánh bằng chứng của nguyên tắc tối đa phân tích (nghĩa là không rời rạc). $u^{n+1}_j$ $u$

— Bến
nguồn

Cảm ơn! Bạn có tình cờ biết đến một tài liệu tham khảo khác ngoài Morton? Tôi không thể truy cập các Phần hoặc Định lý trong bản xem trước sách của Google. Tôi muốn hiểu bằng chứng.

— foobarbaz

@foobarbaz Tôi không có tài liệu tham khảo nào tiện dụng, nhưng tôi đã thêm một phác thảo về bằng chứng. Hãy cho tôi biết nếu tôi có thể làm cho nó rõ ràng hơn.

— Bến

0

Ổn định có nghĩa là một nhiễu loạn vẫn bị giới hạn trong thời gian. Điều đó không có nghĩa là nguyên tắc tối đa được thỏa mãn ở mức độ rời rạc, đó là một vấn đề khác. Đáp ứng nguyên tắc tối đa riêng biệt là đủ nhưng không cần thiết cho sự ổn định.

— chris
nguồn