Phương trình Poisson: Đặt độ dốc đầy đủ làm điều kiện biên thông qua hệ số nhân Lagrange

Tôi có một vấn đề vật lý chi phối bởi phương trình Poisson theo hai chiều Tôi có đo của hai thành phần Gradient ∂ u / ∂ x và ∂ u / ∂ y cùng một số phần của ranh giới, Γ m , vì vậy muốn áp đặt ∂

$$-\nabla^2 u = f(x,y), \; in \; \Omega$$ $\partial{u}/\partial{x}$$\partial{u}/\partial{y}$$\Gamma_m$ và truyền vào trường xa. $$\frac{\partial{u}}{\partial{x_i}}_0 = g_m, \; on \; \Gamma_m$$

Thành phần gradient tiếp tuyến, , tôi chỉ có thể tích hợp và sau đó thực thi thông qua một điều kiện Dirichlet, chẳng hạn rằng ∫gammam∂$\frac{\partial{u}}{\partial{x}}_{(t,0)}$ Để áp đặt đồng thời thành phần bình thường, ∂

$$\int_{\Gamma_m}\frac{\partial{u}}{\partial{x}}_{(t,0)} \, ds = u_0$$ , tôi tập hợp tôi sẽ phải đi qua hệ số nhân Lagrange.$\frac{\partial{u}}{\partial{x}}_{(n,0)}$

Vì vậy, tôi nghĩ rằng hình thức biến phân là sau đó Tôi đã mất một thời gian dài để cố gắng ghép nó lại với nhau từ thông tin về các vấn đề liên quan như https://answers.launchpad.net/fenics/+question/212434https://answers.launchpad.net/fenics/+question / 216323

$$\int_\Omega \nabla{u} \cdot\nabla{v}\, dx - \lambda \int_{\Gamma_m} ( \frac{\partial{u}}{\partial{x}}_{(n,0)}-g_m ) v \,ds = \int_\Omega f\, v\, dx$$

nhưng vẫn không thể thấy tôi đang đi sai ở đâu Cố gắng giải pháp của tôi cho đến nay là:

from dolfin import *

# Create mesh and define function space
mesh = UnitSquareMesh(64, 64)
V = FunctionSpace(mesh, "Lagrange", 1)
R = FunctionSpace(mesh, "R", 0)
W = V * R

# Create mesh function over cell facets
boundary_parts = MeshFunction("uint", mesh, mesh.topology().dim()-1)

# Mark left boundary facets as subdomain 0
class LeftBoundary(SubDomain):
    def inside(self, x, on_boundary):
        return on_boundary and x[0] < DOLFIN_EPS

Gamma_Left = LeftBoundary()
Gamma_Left.mark(boundary_parts, 0)

class FarField(SubDomain):
    def inside(self, x, on_boundary):
        return on_boundary and ( (x[0] > 1.0-DOLFIN_EPS) \
               or (x[1]<DOLFIN_EPS) or (x[1]> 1.0-DOLFIN_EPS) )

Gamma_FF = FarField()
Gamma_FF.mark(boundary_parts, 1)

# Define boundary condition
u0 = Expression("sin(x[1]*pi)")
bcs = [DirichletBC(V, u0, Gamma_Left)]

# Define variational problem
(u, lmbd) = TrialFunctions(W)
(v, d) = TestFunctions(W)

f = Expression("10*exp(-(pow(x[0] - 0.5, 2) + pow(x[1] - 0.5, 2)) / 0.02)")
g = Constant(0.0)
h = Constant(-4.0)
n = FacetNormal(mesh)

F = inner(grad(u), grad(v))*dx + d*dot(grad(u),n)*ds(0) + lmbd*dot(grad(v),n)*ds(0)-\
   (f*v*dx + g*v*ds(1) + h*d*ds(0) + lmbd*h*ds(0))

a = lhs(F)
L = rhs(F)

# Compute solution
A = assemble(a, exterior_facet_domains=boundary_parts)
b = assemble(L, exterior_facet_domains=boundary_parts)
for bc in bcs: bc.apply(A, b)

w = Function(W)
solve(A, w.vector(), b, 'lu')
(u,lmbd) = w.split()

# Plot solution
plot(u, interactive=True)

mà chạy nhưng cho một kết quả ồn ào hoàn toàn không giống như một giải pháp cho phương trình Poisson. Nó dường như có một cái gì đó để làm với các không gian chức năng kết hợp, nhưng tôi không thể tìm thấy sai lầm.
Tôi sẽ đánh giá cao bất kỳ trợ giúp hoặc con trỏ đi đúng hướng - cảm ơn rất nhiều!
Chúc mừng
Markus

Đầu tiên, một điểm chung: bạn không thể quy định các điều kiện biên tùy ý cho toán tử vi phân một phần và mong đợi rằng phương trình vi phân từng phần (luôn bao gồm cả hai điều kiện biên và điều kiện biên) được đặt ra, tức là, thừa nhận một giải pháp duy nhất phụ thuộc liên tục vào dữ liệu - tất cả đều là điều kiện cần thiết để thực sự cố gắng tính toán một cái gì đó.

Tùy thuộc vào nhà điều hành, thường có khá nhiều điều kiện hợp lệ bạn có thể áp đặt (để có được hương vị, hãy xem chuyên khảo ba tập của Lions và Magenes). Tuy nhiên, những gì bạn đang cố gắng thực hiện (chỉ định gradient đầy đủ, tương đương với cả hai điều kiện Dirichlet và Neumann trên cùng một ranh giới (một phần của) cho PDE hình elip bậc hai) không nằm trong số đó - điều này được gọi là một vấn đề Cauchy bênvà không được đặt ra: không có gì đảm bảo rằng một cặp dữ liệu ranh giới nhất định thừa nhận một giải pháp và ngay cả khi có tồn tại, không có sự ổn định nào đối với các nhiễu loạn nhỏ trong dữ liệu. (Trong thực tế, đây là bản gốc ill-đặt ra vấn đề theo nghĩa của Hadamard, và ví dụ cổ điển khiến bạn không thể bỏ qua điều kiện biên khi thảo luận nổi posedness. Bạn có thể tìm thấy một ví dụ rõ ràng trong mình bài giảng về vấn đề Cauchy trong phân từng phần tuyến tính phương trình từ những năm 1920.)

$(r,R)\times(a,b)$$x=r$$R$$x\to \infty$$y=a$$y=b$

1. Nếu bạn có thể áp đặt các điều kiện biên (Neumann, Robin, Dirichlet - mà bạn sẽ cần sửa hằng số trong tích hợp đạo hàm tiếp tuyến, thì cũng đủ để sử dụng các thành phần thông thường của gradient như điều kiện Neumann (nếu bạn có thể sửa chế độ không đổi) hoặc tích hợp các thành phần tiếp tuyến làm điều kiện Dirichlet. Vì cả hai điều kiện có lẽ tương ứng với cùng một chức năng, bạn có thể có cùng một giải pháp.

2. $y=a$$y=b$$-\Delta u=f$$-\Delta u + \varepsilon \Delta^2 u=f$$\varepsilon>0$$H^2$$u$$u_\varepsilon$$u$$\varepsilon\to0$

   $H^2$

Bạn không thể mong đợi giải pháp cho vấn đề đã thay đổi của mình sẽ là giải pháp cho vấn đề Poisson vì bạn cần thay đổi vấn đề bằng cách nào đó để làm cho nó được đặt ra.

$$F(u, \lambda) = \int_\Omega \frac{1}{2}|\nabla u|^2 \;\mathrm{d}x - \int_\Omega f u \;\mathrm{d}x - \int_{\Gamma_\mathrm{N}} g u \;\mathrm{d}S + \int_{\Gamma_\mathrm{N}} \lambda (u-u_\mathrm{D})\;\mathrm{d}S$$ $(u,\lambda) \in V\times L^2(\Gamma_\mathrm{N})$$V = \{v\in H^1;v|_{\Gamma_\mathrm{D}}=0\}$$\Gamma_\mathrm{D}$$u_\mathrm{D}$$\Gamma_\mathrm{N}$$F(u)$ $$0 = \mathrm{D}F(u)[v] = \int_\Omega \nabla u\cdot\nabla v\;\mathrm{d}x - \int_\Omega fv\;\mathrm{d}x - \int_{\Gamma_\mathrm{N}} gv\;\mathrm{d}S \quad \forall v\in V,$$ ${\Gamma_\mathrm{N}}$${\Gamma_\mathrm{D}}$ $$0 = \mathrm{D}F(u,\lambda)[v,\mu] = \int_\Omega \nabla u\cdot\nabla v\;\mathrm{d}x - \int_\Omega fv\;\mathrm{d}x - \int_{\Gamma_\mathrm{N}} gv\;\mathrm{d}S \quad + \int_{\Gamma_\mathrm{N}} \lambda v\;\mathrm{d}S + \int_{\Gamma_\mathrm{N}} \mu (u-u_\mathrm{D})\;\mathrm{d}S \quad \forall (v,\mu)\in V\times L^2(\Gamma_\mathrm{N}),$$ $-\Delta u=f$$\frac{\partial u}{\partial\mathbf{n}} = g-\lambda$$\Gamma_\mathrm{N}$$\Gamma_\mathrm{N}$

$\lambda\ll|g|$

$\Gamma_\mathrm{D}$$v\in V$$\Gamma_\mathrm{D}$

Kết luận là bạn không thể ngờ rằng PDE bậc hai sẽ thừa nhận hai điều kiện biên độc lập.

---

$F(u,\lambda)$$\mathrm{D}F(u,\lambda)[v,\mu]$derivative()

$F(u,\lambda)$$\lambda\in L^2(\Gamma_\mathrm{N})$$\lambda\in L^2(\Omega)$$\lambda\in\mathbb{R}$

Cách tiếp cận của bạn không thể làm việc, chắc chắn là do việc thực hiện và có thể là do công thức của bạn.

Áp đặt các điều kiện Dirichlet trong dolfin, cuối cùng đặt DOF tương ứng của không gian thử nghiệm của bạn thành 0.

Đây là một đoạn trích từ hướng dẫn fenics :

Chương 3.3.9 (kết thúc): Việc áp dụng điều kiện biên Dirichlet cho hệ thống tuyến tính sẽ xác định tất cả các bậc tự do nên được đặt thành giá trị đã cho và sửa đổi hệ thống tuyến tính sao cho giải pháp của nó tuân thủ điều kiện biên. Điều này được thực hiện bằng cách zeroing và chèn 1 trên đường chéo của các hàng của ma trận tương ứng với các giá trị Dirichlet và chèn giá trị Dirichlet vào mục nhập tương ứng của vectơ bên phải [...]

$v$$\Gamma_m$

Tóm lại, sử dụng thói quen mặc định trong dolfin, bạn không thể áp dụng cả Dirichlet và các điều kiện khác trên cùng một ranh giới.

Tuy nhiên, trước khi bạn cố gắng khắc phục điều này trong quá trình triển khai, hãy tìm các không gian kiểm tra phù hợp cho công thức toán học của bạn (như @Jan Blechta vừa đề cập.)