Dao động trong các vấn đề khuếch tán phản ứng đơn lẻ với các phần tử hữu hạn

Khi FEM-discretizing và giải quyết một vấn đề phản ứng-khuếch tán, ví dụ: với (số ít nhiễu loạn), các giải pháp của vấn đề rời rạc thường sẽ triển lãm các lớp dao động gần với ranh giới. Với , và tuyến tính phần tử hữu hạn, giải pháp trông giống như

- ε Δ bạn + bạn = = 1 trên Ω bạn = = 0 trên \partial Ω

$- \varepsilon \Delta u + u = 1 \text{ on } \Omega\\ u = 0 \text{ on } \partial\Omega$

0 < ε ≪ 1

$0 < \varepsilon \ll 1$

Ω = (0, 1)

$\Omega = (0,1)$

ε = 10^{- 5}

$\varepsilon=10^{-5}$

u_{h}

$u_h$

giải pháp cho vấn đề đơn lẻ

Tôi thấy có rất nhiều tài liệu về những tác động không mong muốn như vậy khi chúng được gây ra bởi sự đối lưu (ví dụ, sự bất mãn ngược gió), nhưng khi nói đến phản ứng, mọi người dường như tập trung vào các mắt lưới tinh chế (Shishkin, Bakhvalov).

Có sự rời rạc nào tránh được những dao động như vậy, tức là bảo tồn tính đơn điệu? Những gì khác có thể hữu ích trong bối cảnh này?

— Nico Schlömer
nguồn

Không phải là sơ đồ khác biệt trung tâm bảo tồn tính đơn điệu bởi vì nó dẫn đến ma trận M ?

— Hui Zhang

⟨ 1 ϕ_{i}, ϕ_{j} ⟩ > 0

$\langle 1 \phi_i, \phi_j\rangle > 0$

@HuiZhang Tất nhiên bạn đúng trong trường hợp có sự khác biệt hữu hạn (và khối lượng hữu hạn cũng vậy). Tôi sẽ điều chỉnh câu trả lời để nói rõ hơn rằng tôi quan tâm đến các yếu tố hữu hạn.

— Nico Schlömer

Các phương pháp Galerkin không liên tục đã trở nên khá phổ biến đối với các vấn đề như vậy - bạn đã xem cuốn sách của Di Pietro và Ern chưa?

— Christian Clason

Câu trả lời:

Trong trường hợp bạn hiển thị, giải pháp có một lớp ranh giới. Nếu bạn không thể giải quyết nó vì lưới của bạn quá thô, thì đối với tất cả các vấn đề thực tế, giải pháp không liên tục với sơ đồ số.

$N$

$\varepsilon$ $h\rightarrow 0$

— Wolfgang Bangerth
nguồn

TL; DR: Các tùy chọn của bạn bị giới hạn 1) thích ứng mạnh mẽ cho giải pháp chính xác và đắt tiền 2) sử dụng khuếch tán số cho một giải pháp kém chính xác nhưng ổn định hoặc (yêu thích của tôi) 3) thúc đẩy thực tế rằng đây là một vấn đề nhiễu loạn đơn lẻ và giải quyết hai vấn đề bên trong / bên ngoài rẻ tiền và để cho những người không có triệu chứng phù hợp làm điều kỳ diệu của nó!

$\delta = \mathcal{O}(\sqrt{\epsilon})$

Để chính xác hơn, hãy xem xét ranh giới bên trái, nơi $x = \mathcal{O}(\delta)$ $\eta = x/\delta$

- Δ {bạn}_{Tôi} + {bạn}_{Tôi} = = 1

$-\Delta u_i + u_i = 1$

$u(0) = 0$ $u_i(\eta\rightarrow\infty) = u_o(x\rightarrow0)$ $u_o$ $x = \mathcal{O}(1)$ $u$ $1$ $u_0 = 1$ giải pháp bên trong một cách dễ dàng - trong trường hợp này thậm chí phân tích.

Trên thực tế, đây là kỹ thuật đã (và vẫn còn) rất phổ biến để giải quyết các vấn đề lớp ranh giới tầng trong cơ học chất lỏng trở lại trong ngày. Trong thực tế nếu bạn nhìn vào các phương trình Navier-Stokes, với số Reynold cao, bạn đang đối mặt với một vấn đề nhiễu loạn đơn lẻ, giống như vấn đề bạn đã đề cập ở đây, phát triển một lớp ranh giới (thực tế thú vị: thuật ngữ "lớp ranh giới" trong nhiễu loạn phân tích thực sự đến từ vấn đề lớp ranh giới chất lỏng tôi vừa mô tả).

$u_0 = 1$

— GradGuy
nguồn