Phương trình tiến với vận tốc thay đổi có thể được bảo thủ?

Tôi đang cố gắng để hiểu phương trình thăng tiến với hệ số vận tốc thay đổi tốt hơn một chút. Cụ thể tôi không hiểu làm thế nào phương trình có thể bảo thủ.

Các phương trình bình lưu ,

\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} (v u) = 0

$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}(\boldsymbol{v}u) = 0$

Chúng ta hãy hiểu là nồng độ của một số loài vật lý ( ) hoặc một số đại lượng vật lý khác không thể tạo hoặc phá hủy. Nếu chúng ta tích hợp trên miền của mình thì chúng ta sẽ nhận được hằng số, $u(x,t)$ $cm^{-3}$ $u(x,t)$

\int_{x_{min}}^{x_{max}} u (x, t) d x = constant

$\int_{x_{\text{min}}}^{x_{\text{max}}} u(x,t) dx = \text{constant}$

(Đây là những gì tôi có nghĩa là bảo thủ.)

Nếu bây giờ chúng ta để vận tốc là một hàm của không gian (và thời gian), , thì quy tắc chuỗi phải được áp dụng để đưa ra, $\boldsymbol{v}(x,t)$

\frac{\partial u}{\partial t} + v \frac{\partial u}{\partial x} + \underset{?}{\underset{⏟}{u \frac{\partial v}{\partial x}}} = 0

$\frac{\partial u}{\partial t} + \boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x} + \underbrace{u\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial x}}_{\text{?}} = 0$

Thuật ngữ cuối cùng "trông" giống như một thuật ngữ nguồn và đây là điều tôi thấy khó hiểu. Nó sẽ tăng hoặc giảm số lượng tùy thuộc vào độ phân kỳ của trường vận tốc. $u$

Sau câu hỏi này , tôi hiểu làm thế nào để áp đặt các điều kiện biên bảo tồn. Tuy nhiên, đối với phương trình tiến độ vận tốc thay đổi, tôi không hiểu làm thế nào các điều kiện biên bảo tồn có thể được tạo ra do "thuật ngữ nguồn" bổ sung được đưa ra bằng cách áp dụng quy tắc chuỗi. Phương trình này có thể được bảo thủ? Nếu vậy, làm thế nào có thể điều chỉnh các điều kiện biên được áp dụng?

advection conservation

— tẩy chay
nguồn

Số lượng cơ bản trong vận chuyển là thông lượng , cho sự tiến bộ. Định lý phân kỳ nói rằng $\mathbf v u$

\int_{Ω} \nabla \cdot (v u) = \int_{\partial Ω} (v u) \cdot n .

$\int_\Omega \nabla\cdot (\mathbf v u) = \int_{\partial \Omega} (\mathbf v u) \cdot \mathbf n .$

Một phương trình là bảo thủ khi nó được bảo toàn đẳng thức này. Giảm xuống 1D với và sử dụng phương trình , chúng ta có $\Omega = (a,b)$ $u_t + (\mathbf v u)_x = 0$

(\int_{a}^{b} u)_{t} = \int_{a}^{b} u_{t} = - \int_{a}^{b} (v u)_{x} = - v u |_{a}^{b}

$\Big(\int_a^b u\Big)_t = \int_a^b u_t = -\int_a^b (\mathbf v u)_x = -\mathbf v u |_a^b$

trong đó thuật ngữ bên phải chỉ là sự khác biệt về thông lượng giữa ranh giới bên trái và bên phải.

Về quan sát thứ hai của bạn, hình thức không bảo thủ (không phân kỳ) là sai lệch (và chỉ biện minh cho các giải pháp trơn tru). Sản phẩm không phải là phương tiện vận chuyển bảo thủ nếu không có phân kỳ (nghĩa là không đổi trong 1D). Bạn nên gắn bó với hình thức bảo thủ và chống lại sự thôi thúc áp dụng quy tắc chuỗi khi đánh giá các thuộc tính bảo tồn. $\mathbf v \cdot \nabla u$ $\mathbf v$

— Jed Brown
nguồn

Cảm ơn bạn đã trả lời thực sự rõ ràng, một lần nữa, Jed! Tôi nghĩ rằng tôi sẽ hỏi một câu hỏi tiếp theo cho vấn đề này, nhưng trước tiên cần cố gắng thực hiện đề xuất của bạn.

— boyfarrell