Tại sao việc giải phương trình Schrödinger phụ thuộc nhiều thời gian lại khó khăn

Dường như mọi người thường sử dụng xấp xỉ Electron hoạt động đơn (SAE) để đối phó với hệ thống đa electron, biến vấn đề thành một vấn đề điện tử đơn lẻ. Ví dụ, trong việc giải quyết vấn đề bằng số nguyên tử helium tương tác với các trường laser, mọi người thường ước chừng bao gồm hiệu ứng electron-electron bằng một thế năng giả và về cơ bản giải quyết vấn đề một electron. Vậy tại sao khó có thể giải quyết bằng số phương trình Schrödinger đa electron phụ thuộc thời gian? Có khó khăn hơn nhiều so với vấn đề cơ thể n cổ điển? Tôi đã thấy có rất nhiều vấn đề -body cổ điển khổng lồ đã giải quyết bằng số trong thiên văn học ngay cả trong thời gian thực, ví dụ ở đây mô phỏng thời gian thực sự va chạm của hai thiên hà liên quan đến tương tác 280000 hạt.$n$

Vâng, đó là nhiều khó khăn hơn để làm như vậy. Đối với bài toán cơ thể , tất cả những gì bạn cần tính toán là các quỹ đạo chỉ là các hàm của một biến.$N$$\mathbf x_i(t), i=1\ldots N$$N$

Mặt khác, ngay cả đối với một điện tử, giải pháp của phương trình Schroedinger là một hàm , tức là một hàm gồm bốn biến. Đối với hai điện tử, bạn đang tìm một hàm mô tả hàm sóng là hàm của vị trí của hai electron cộng với thời gian. Đó là bảy biến.$\Psi(x,y,z,t)$$\Psi(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_3,t)$

Bây giờ, nếu bạn nhớ cách giải các phương trình vi phân thông thường như phương trình Newton cho bài toán cơ thể , thì bạn cần di chuyển mọi phương trình về phía trước theo thời gian từ thời gian đến và tính toán giải pháp ở đó. Vì vậy, nếu bạn chia khoảng thời gian thành các khoảng thời gian thì nỗ lực cho mỗi bước thời gian sẽ là bằng cách sử dụng triển khai các tương tác ngây thơ của các cơ quan (bạn có thể sử dụng các phương pháp để đạt được nỗ lực , nhưng đó là điểm chính.$N$$t$$t+\Delta t$$[0,T]$$M$$\Delta t=T/M$$N^2M$$N$$N (\log N) M$

Mặt khác, để tìm một hàm gồm 7 biến, giả sử rằng bạn chia nhỏ khoảng thời gian thành các khoảng thời gian như trên, nhưng bạn cũng làm tương tự cho 6 tọa độ không gian. Sau đó, có tổng cộng điểm lưới để xem xét. Và nói chung, đối với một hệ lượng tử cơ thể , bạn có .$M$$M^7$$N$$M^{3N+1}$

Bây giờ thật dễ dàng để xác minh rằng ngay cả đối với các số khá nhỏ , nỗ lực lớn hơn , điều này giải thích tại sao các phép tính lượng tử đa cực đắt hơn rất nhiều so với cơ thể cơ học cổ điển.$N,M$$M^{3N+1}$$N^2M$$N$