Gói phần mềm tượng trưng cho biểu thức Matrix?

Chúng ta biết rằng là đối xứng và xác định dương. Chúng tôi biết rằng là trực giao:$\mathbf A$$\mathbf B$

Câu hỏi: là đối xứng và tích cực xác định? Trả lời có.$\mathbf B \cdot\mathbf A \cdot\mathbf B^\top$

Câu hỏi: Một máy tính có thể cho chúng tôi biết điều này? Trả lời: Có lẽ.

Có bất kỳ hệ thống đại số tượng trưng nào (như Mathicala) xử lý và truyền bá các sự kiện đã biết về ma trận không?

Chỉnh sửa: Để rõ ràng tôi đang hỏi câu hỏi này về ma trận được xác định trừu tượng. Tức là tôi không có mục rõ ràng cho và , tôi chỉ biết rằng cả hai đều là ma trận và có những đặc điểm riêng như đối xứng, xác định dương, v.v ....$A$$B$

Chỉnh sửa: Điều này hiện đã có trong SymPy

$ isympy
In [1]: A = MatrixSymbol('A', n, n)
In [2]: B = MatrixSymbol('B', n, n)
In [3]: context = Q.symmetric(A) & Q.positive_definite(A) & Q.orthogonal(B)
In [4]: ask(Q.symmetric(B*A*B.T) & Q.positive_definite(B*A*B.T), context)
Out[4]: True

Câu trả lời cũ hơn cho thấy công việc khác

Vì vậy, sau khi xem xét một lúc, đây là những gì tôi đã tìm thấy.

Câu trả lời hiện tại cho câu hỏi cụ thể của tôi là "Không, không có hệ thống hiện tại nào có thể trả lời câu hỏi này". Tuy nhiên, có một vài điều dường như đến gần.

Đầu tiên, Matt Knepley và Lagerbaer đều chỉ ra làm việc bởi Diego Fabregat và Paolo Bientinesi . Công việc này cho thấy cả tầm quan trọng tiềm năng và tính khả thi của vấn đề này. Đó là một đọc tốt. Thật không may, tôi không chắc chắn chính xác cách thức hệ thống của anh ấy hoạt động hoặc khả năng của nó (nếu có ai biết về các tài liệu công khai khác về chủ đề này thì hãy cho tôi biết).

Thứ hai, có một thư viện đại số tenor được viết cho Mathicala gọi là xAct xử lý các đối xứng và một cách tượng trưng. Nó làm một số điều rất tốt nhưng không phù hợp với trường hợp đặc biệt của đại số tuyến tính.

Thứ ba, các quy tắc này được viết chính thức trong một vài thư viện cho Coq , một trợ lý chứng minh định lý tự động (tìm kiếm Google cho đại số tuyến tính / ma trận coq để tìm một số). Đây là một hệ thống mạnh mẽ mà không may đòi hỏi sự tương tác của con người.

Sau khi nói chuyện với một số người hoạt động theo định lý, họ đề nghị xem xét lập trình logic (ví dụ Prolog, mà Lagerbaer cũng đề xuất) cho loại điều này. Theo hiểu biết của tôi điều này chưa được thực hiện - tôi có thể chơi với nó trong tương lai.

Cập nhật: Tôi đã thực hiện điều này bằng hệ thống Maude . Mã của tôi được lưu trữ trên github

Một số tính toán ma trận tượng trưng (ví dụ: hoàn thành ma trận khối) có thể được thực hiện với gói NCAlgebra http://www.math.ucsd.edu/~ncalg/ (chạy theo mathicala ).

Bergman http://servus.math.su.se/bergman/ là một gói trong Lisp với khả năng tương tự.

Một số giấy tờ có liên quan:
http://math.ucsd.edu/~helton/osiris/COMPALG2000/ohRevisIJC.pdf
http://math.ucsd.edu/~thesis/thesis/dkronewitter/dkronewitter.pdf
http: // www. tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00207170600882346

CAS2x23x3$\mathbf B$

Câu hỏi sau đó trở thành, còn Nma trận thứ nguyên thì sao? Có lẽ bạn có thể đưa ra một sơ đồ quy nạp trong đó N-1 x N-1giả sử là đúng và sau đó xây dựng một ma trận khối mới với kích thước tổng thể N x Nđể chứng minh rằng đó là xác định dương và đối xứng.

Vì vậy, câu hỏi cuối cùng, trong đó phần mềm nào phù hợp hơn cho nhiệm vụ (nếu có), kinh nghiệm của tôi đã có MATLAB/MuPadvà Derive(vẫn sử dụng nó) và cả hai đều không xử lý tốt các vectơ và ma trận. MATLABchia mọi thứ thành các thành phần và Derivecó thể khai báo Non-scalarsnhưng nó không áp dụng bất kỳ quy tắc đơn giản hóa nào cho chúng.

$\vec a \times (\vec b \times \vec c) = (\vec a \cdot \vec b)\vec c - (\vec a \cdot \vec c) \vec b$

Lâu rồi tôi mới sử dụng một trong hai gói này, nhưng tôi nghĩ rằng bạn có thể làm điều này bằng các ngôn ngữ như Mathicala thông qua việc sử dụng các xác nhận. Một cái gì đó giống như Assert [A, Symmetric] nói với Mathicala rằng A là một ma trận đối xứng, v.v. Hiện tại tôi không có quyền truy cập vào tiện dụng, vì vậy đây là thứ cần phải được kiểm tra.

Maple 15 không thể làm điều đó. Nó không có thuộc tính "Trực giao" cho ma trận (mặc dù nó có Đối xứng và Tích cực).

Trong Mathematica ít nhất bạn có thể kiểm tra các thuộc tính này cho các ma trận cụ thể. Ví dụ: ma trận Anhư bạn mô tả:

In[1]:= A = {{2.0,-1.0,0.0},{-1.0,2.0,-1.0},{0.0,-1.0,2.0}};
        {SymmetricMatrixQ[A],PositiveDefiniteMatrixQ[A]}
Out[2]= {True,True}

Đối với ma trận B:

In[3]:= B = {{0, -0.80, -0.60}, {0.80, -0.36, 0.48}, {0.60, 0.48, -0.64}};
        Transpose[B] == Inverse[B]
Out[4]= True

Sau đó:

In[5]:= c = B.A.Transpose[B];
        {SymmetricMatrixQ[c],PositiveDefiniteMatrixQ[c]}
Out[6]= {True,True}

Ma trận toán học và tài liệu đại số tuyến tính