Có phải kỹ thuật đồng sáng tạo của người Hồi giáo để đảo ngược một ma trận có bất kỳ ý nghĩa thực tế nào không?

Tiêu đề là câu hỏi. Kỹ thuật này liên quan đến việc sử dụng "ma trận các đồng yếu tố" hoặc "ma trận liên hợp" và đưa ra các công thức rõ ràng cho các thành phần nghịch đảo của ma trận vuông. Thật không dễ dàng để làm bằng tay cho một ma trận lớn hơn, giả sử, $3\times 3$ . Đối với một $n\times n$ ma trận, nó đòi hỏi tính định thức của ma trận chính nó và tính $n^2$ yếu tố quyết định $(n-1)\times(n-1)$ ma trận. Vì vậy, tôi đoán nó không hữu ích cho các ứng dụng. Nhưng tôi muốn xác nhận.

Tôi không hỏi về ý nghĩa lý thuyết của kỹ thuật trong việc chứng minh các định lý về ma trận.

linear-algebra matrix complexity

— Stefan Smith
nguồn

Câu trả lời:

Bạn nói đúng - nó hoàn toàn không có liên quan thực tế cho máy tính. Ngay cả khi tính toán định thức là một phép toán , thì độ phức tạp của phương thức sẽ ít nhất là và do đó, có cùng độ phức tạp như loại bỏ Gaussian. Trong thực tế, tính toán định thức của ma trận thực sự phức tạp theo cấp số nhân, làm cho phương pháp này hoàn toàn không sử dụng được. $O(n)$ $O(n^3)$

— Wolfgang Bangerth
nguồn

Hai điều tôi muốn thêm: Độ phức tạp của Quy tắc Cramer (sử dụng các xác định để tính toán nghịch đảo) là

Lớn hơn nhiều so với Gaussian Elimination

. Ngoài ra, nói chung, bạn không muốn tính toán nghịch đảo trừ khi bạn thực sự phải làm.

O (n!)

$O(n!)$

O (n^{3})

$O(n^3)$

— Paul

OTOH, có thể có một số trường hợp trong đó mở rộng Laplace có thể được ưa thích hơn, ví dụ như ma trận dải. Nhưng thực sự, nói chung, mở rộng Laplace có độ phức tạp

O (n!)

$O(n!)$

— JM

@Stefan, vâng, loại bỏ Gaussian có thể được sử dụng để tính toán các yếu tố quyết định. Vì

và loại bỏ Gaussian tạo ra các yếu tố (hình tam giác) có các yếu tố quyết định dễ dàng được tính toán, nên thực sự sẽ phải nỗ lực

det (A B) = det (A) det (B)

$\det(\mathbf A\mathbf B)=\det(\mathbf A)\det(\mathbf B)$

O (n^{3})

$O(n^3)$

— JM

Có, bạn đã đúng - định thức có thể được tính bằng chi phí phân tách

(Cách ngây thơ thể hiện trong sách giáo khoa sử dụng khai triển đệ quy là theo cấp số nhân theo

- độ phức tạp

đề cập bởi Paul). Nhưng điều đó vẫn mang lại độ phức tạp tổng thể của

cho thuật toán được đề xuất - nhiều hơn nhiều so với loại bỏ Gaussian, nếu người ta sử dụng nó, và thậm chí nhiều hơn các bộ giải lặp.

L U

$LU$

n

$n$

n!

$n!$

O (n^{5})

$O(n^5)$

— Wolfgang Bangerth

Chính xác. Giảm hàng là một nửa của tính toán phân tách

Nó làm giảm

đến yếu tố

Nửa còn lại của công việc đang thực hiện các hoạt động tương tự bắt đầu từ ma trận danh tính, thu được ma trận

Đúng là bạn có thể tránh điều sau nếu tất cả những gì bạn quan tâm là yếu tố quyết định.

L U

$LU$

A

$A$

U

$U$

L

$L$

— Wolfgang Bangerth

Tôi đang đi ngược lại đám đông - ma trận liên hợp trên thực tế rất hữu ích cho một số ứng dụng đặc biệt có kích thước nhỏ (như bốn hoặc ít hơn), đặc biệt khi bạn cần nghịch đảo ma trận nhưng không quan tâm đến quy mô.

Hai ví dụ bao gồm tính toán của một phép đo đồng nhất nghịch đảo và phép lặp thương số Rayleigh cho các vấn đề rất nhỏ (ngoài việc được đơn giản hóa bằng cách sử dụng phép bổ trợ thì tốt hơn về mặt số).

— không có vỏ bọc
nguồn

Tôi hoàn toàn đồng ý, có một số trường hợp (nói chung với ma trận nhỏ) nơi nó giúp ích rất nhiều! (ví dụ, để tính toán tọa độ barycentric trong một đơn giản nhỏ)

— BrunoLevy