Áp lực như một hệ số nhân Lagrange

Trong các phương trình Navier-Stokes không thể nén, thuật ngữ áp lực thường được gọi là hệ số nhân Lagrange thi hành điều kiện không thể nén.

\begin{aligned} ρ (u_{t} + (u \cdot \nabla) u) & = - \nabla p + μ Δ u + f \\ \nabla \cdot u & = 0 \end{aligned}

$\begin{align*} \rho\left(\mathbf{u}_t + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u}\right) &= - \nabla p + \mu\Delta\mathbf{u} + \mathbf{f}\\ \nabla\cdot\mathbf{u} &= 0 \end{align*}$

Theo nghĩa nào thì điều này đúng? Có một công thức của các phương trình Navier-Stokes không thể nén được như là một vấn đề tối ưu hóa chịu sự ràng buộc không chịu áp lực? Nếu vậy, có một tương tự số trong đó các phương trình của dòng chất lỏng không thể nén được giải quyết trong một khung tối ưu hóa?

— Bến
nguồn

Điều này dễ thấy nhất bằng cách xem xét các phương trình Stokes đứng yên tương đương với bài toán Nếu bạn viết Lagrangian và sau đó các điều kiện tối ưu của vấn đề tối ưu hóa này, bạn sẽ thấy rằng thực sự áp lực là hệ số nhân Lagrange.

- μ Δ u + \nabla p = f \nabla \cdot u = 0

$-\mu \Delta u + \nabla p = f \\ \nabla \cdot u = 0$

min_{u} \frac{μ}{2} ‖ \nabla u ‖^{2} - (f, u) so that \nabla \cdot u = 0.

$\min_u \frac\mu 2 \|\nabla u\|^2 - (f,u) \\ \text{so that} \; \nabla\cdot u = 0.$

Sự tương đương giữa các vấn đề này không được khai thác trong bất kỳ sơ đồ số nào (mà tôi biết) nhưng nó là một công cụ quan trọng trong phân tích vì nó cho thấy các phương trình Stokes về cơ bản là phương trình Poisson trên không gian con tuyến tính. Điều tương tự cũng đúng với các phương trình Stokes phụ thuộc thời gian (tương ứng với phương trình nhiệt trên không gian con) và nó có thể được mở rộng thành các phương trình Navier-Stokes.

— Wolfgang Bangerth
nguồn

Cảm ơn cho một câu trả lời tuyệt vời. Bạn có biết nếu công thức này có thể được mở rộng cho trường hợp phụ thuộc thời gian?

— Bến

Vâng, như tôi nói nó dẫn đến một phương trình nhiệt trên không gian con của các hàm tự do phân kỳ.

— Wolfgang Bangerth

Xin lỗi, tôi nên đã rõ ràng hơn. Có cách nào để lấy lại các phương trình Stokes (hay Navier-Stokes) phụ thuộc vào thời gian như một vấn đề tối ưu hóa, có thể là của một chức năng được tích hợp theo thời gian không?

— Bến

Không phải là một vấn đề tối ưu hóa - giải pháp của phương trình nhiệt không giảm thiểu bất cứ điều gì (mặc dù đó là điểm dừng của hàm Lagrangian). Nhưng bạn có thể lập các phương trình Stokes như sau: Tìm sao cho cho tất cả chịu sự ràng buộc mà . Lưu ý rằng tôi đã chọn không gian thử nghiệm nhỏ hơn không gian thử nghiệm và do đó phía bên trái và bên phải của phương trình biến thiên sẽ không bằng nhau. Sự khác biệt là áp lực.

u \in H_{div}

$u \in H_\text{div}$

(u_{t}, φ) + (\nabla u, \nabla φ) = (f, φ)

$(u_t,\varphi)+(\nabla u,\nabla\varphi)=(f,\varphi)$

φ \in {v \in H_{div} : \nabla \cdot v = 0}

$\varphi\in \{v\in H_\text{div}: \nabla \cdot v = 0\}$

\nabla \cdot u = 0

$\nabla \cdot u = 0$

— Wolfgang Bangerth